Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29559 / 21409
↖ ↑ ↗
← N 76.247164°
W 98.813782°		 ← 72.61 m → N 76.247164°
W 98.811035°		 →
↑
72.63 m
↓
↑
72.63 m
↓
N 76.246510°
W 98.813782°		 ← 72.61 m →
5 274 m²		 N 76.246510°
W 98.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225521087646484 y=0.163341522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225521087646484 × 217)
    floor (0.225521087646484 × 131072)
    floor (29559.5)     		tx = 29559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163341522216797 × 217)
    floor (0.163341522216797 × 131072)
    floor (21409.5)     		ty = 21409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29559 / 21409 ti = "17/29559/21409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29559/21409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29559 ÷ 217
    29559 ÷ 131072     		x = 0.225517272949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21409 ÷ 217
    21409 ÷ 131072     		y = 0.163337707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225517272949219 × 2 - 1) × π
    -0.548965454101562 × 3.1415926535     		Λ = -1.72462584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163337707519531 × 2 - 1) × π
    0.673324584960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.11531156953422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72462584} λ = -1.72462584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11531156953422))-π/2
    2×atan(8.29216895089517)-π/2
    2×1.45078018892268-π/2
    2.90156037784536-1.57079632675     		φ = 1.33076405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72462584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.813782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33076405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.247164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29559 KachelY 21409 -1.72462584 1.33076405 -98.813782 76.247164
    Oben rechts KachelX + 1 29560 KachelY 21409 -1.72457790 1.33076405 -98.811035 76.247164
    Unten links KachelX 29559 KachelY + 1 21410 -1.72462584 1.33075265 -98.813782 76.246510
    Unten rechts KachelX + 1 29560 KachelY + 1 21410 -1.72457790 1.33075265 -98.811035 76.246510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33076405-1.33075265) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dl = 72.6293999999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33076405-1.33075265) × R
    1.13999999999947e-05 × 6371000     		dr = 72.6293999999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72462584--1.72457790) × cos(1.33076405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2377339779799 × 6371000     		do = 72.6100761476072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72462584--1.72457790) × cos(1.33075265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237745051129896 × 6371000     		du = 72.6134581726387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33076405)-sin(1.33075265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2377339779799-0.237745051129896)×R²
    abs(-1.72457790--1.72462584)×1.10731499953776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10731499953776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10731499953776e-05×40589641000000     		ar = 5273.74908180891m²