Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29557 / 22641
↖ ↑ ↗
← N 48.512966°
W 17.638550°		 ← 404.62 m → N 48.512966°
W 17.633057°		 →
↑
404.69 m
↓
↑
404.69 m
↓
N 48.509326°
W 17.638550°		 ← 404.65 m →
163 749 m²		 N 48.509326°
W 17.633057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451011657714844 y=0.345481872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451011657714844 × 216)
    floor (0.451011657714844 × 65536)
    floor (29557.5)     		tx = 29557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345481872558594 × 216)
    floor (0.345481872558594 × 65536)
    floor (22641.5)     		ty = 22641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29557 / 22641 ti = "16/29557/22641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29557/22641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29557 ÷ 216
    29557 ÷ 65536     		x = 0.451004028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22641 ÷ 216
    22641 ÷ 65536     		y = 0.345474243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451004028320312 × 2 - 1) × π
    -0.097991943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30785077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345474243164062 × 2 - 1) × π
    0.309051513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.970913964904617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30785077} λ = -0.30785077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970913964904617))-π/2
    2×atan(2.64035655012558)-π/2
    2×1.20875365259068-π/2
    2.41750730518137-1.57079632675     		φ = 0.84671098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30785077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.638550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84671098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.512966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29557 KachelY 22641 -0.30785077 0.84671098 -17.638550 48.512966
    Oben rechts KachelX + 1 29558 KachelY 22641 -0.30775490 0.84671098 -17.633057 48.512966
    Unten links KachelX 29557 KachelY + 1 22642 -0.30785077 0.84664746 -17.638550 48.509326
    Unten rechts KachelX + 1 29558 KachelY + 1 22642 -0.30775490 0.84664746 -17.633057 48.509326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84671098-0.84664746) × R
    6.35199999999836e-05 × 6371000     		dl = 404.685919999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84671098-0.84664746) × R
    6.35199999999836e-05 × 6371000     		dr = 404.685919999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30785077--0.30775490) × cos(0.84671098) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662450547977106 × 6371000     		do = 404.616692934206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30785077--0.30775490) × cos(0.84664746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662498129831394 × 6371000     		du = 404.645755348879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84671098)-sin(0.84664746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662450547977106-0.662498129831394)×R²
    abs(-0.30775490--0.30785077)×4.75818542882145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75818542882145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75818542882145e-05×40589641000000     		ar = 163748.559257288m²