Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29557 / 15442
↖ ↑ ↗
← N 68.492013°
W 17.638550°		 ← 223.93 m → N 68.492013°
W 17.633057°		 →
↑
223.94 m
↓
↑
223.94 m
↓
N 68.489999°
W 17.638550°		 ← 223.95 m →
50 150 m²		 N 68.489999°
W 17.633057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451011657714844 y=0.235633850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451011657714844 × 216)
    floor (0.451011657714844 × 65536)
    floor (29557.5)     		tx = 29557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235633850097656 × 216)
    floor (0.235633850097656 × 65536)
    floor (15442.5)     		ty = 15442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29557 / 15442 ti = "16/29557/15442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29557/15442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29557 ÷ 216
    29557 ÷ 65536     		x = 0.451004028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15442 ÷ 216
    15442 ÷ 65536     		y = 0.235626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451004028320312 × 2 - 1) × π
    -0.097991943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30785077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235626220703125 × 2 - 1) × π
    0.52874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.66110944563419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30785077} λ = -0.30785077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66110944563419))-π/2
    2×atan(5.26514900186239)-π/2
    2×1.38310372950588-π/2
    2.76620745901177-1.57079632675     		φ = 1.19541113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30785077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.638550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19541113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.492013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29557 KachelY 15442 -0.30785077 1.19541113 -17.638550 68.492013
    Oben rechts KachelX + 1 29558 KachelY 15442 -0.30775490 1.19541113 -17.633057 68.492013
    Unten links KachelX 29557 KachelY + 1 15443 -0.30785077 1.19537598 -17.638550 68.489999
    Unten rechts KachelX + 1 29558 KachelY + 1 15443 -0.30775490 1.19537598 -17.633057 68.489999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19541113-1.19537598) × R
    3.51500000002058e-05 × 6371000     		dl = 223.940650001311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19541113-1.19537598) × R
    3.51500000002058e-05 × 6371000     		dr = 223.940650001311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30785077--0.30775490) × cos(1.19541113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366630930457641 × 6371000     		do = 223.933688427243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30785077--0.30775490) × cos(1.19537598) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366663632612419 × 6371000     		du = 223.953662503434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19541113)-sin(1.19537598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366630930457641-0.366663632612419)×R²
    abs(-0.30775490--0.30785077)×3.27021547786854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27021547786854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27021547786854e-05×40589641000000     		ar = 50150.0922527223m²