Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29556 / 17717
↖ ↑ ↗
← N 63.418573°
W 17.644043°		 ← 273.31 m → N 63.418573°
W 17.638550°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
N 63.416115°
W 17.644043°		 ← 273.33 m →
74 703 m²		 N 63.416115°
W 17.638550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450996398925781 y=0.270347595214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450996398925781 × 216)
    floor (0.450996398925781 × 65536)
    floor (29556.5)     		tx = 29556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270347595214844 × 216)
    floor (0.270347595214844 × 65536)
    floor (17717.5)     		ty = 17717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29556 / 17717 ti = "16/29556/17717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29556/17717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29556 ÷ 216
    29556 ÷ 65536     		x = 0.45098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17717 ÷ 216
    17717 ÷ 65536     		y = 0.270339965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45098876953125 × 2 - 1) × π
    -0.0980224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30794664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270339965820312 × 2 - 1) × π
    0.459320068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44299655236293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30794664} λ = -0.30794664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44299655236293))-π/2
    2×atan(4.23336232146407)-π/2
    2×1.33882961398156-π/2
    2.67765922796311-1.57079632675     		φ = 1.10686290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30794664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.644043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10686290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.418573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29556 KachelY 17717 -0.30794664 1.10686290 -17.644043 63.418573
    Oben rechts KachelX + 1 29557 KachelY 17717 -0.30785077 1.10686290 -17.638550 63.418573
    Unten links KachelX 29556 KachelY + 1 17718 -0.30794664 1.10682000 -17.644043 63.416115
    Unten rechts KachelX + 1 29557 KachelY + 1 17718 -0.30785077 1.10682000 -17.638550 63.416115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10686290-1.10682000) × R
    4.29000000001789e-05 × 6371000     		dl = 273.31590000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10686290-1.10682000) × R
    4.29000000001789e-05 × 6371000     		dr = 273.31590000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30794664--0.30785077) × cos(1.10686290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447469220436339 × 6371000     		do = 273.308727293944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30794664--0.30785077) × cos(1.10682000) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447507585465944 × 6371000     		du = 273.332160184822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10686290)-sin(1.10682000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447469220436339-0.447507585465944)×R²
    abs(-0.30785077--0.30794664)×3.83650296048588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83650296048588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83650296048588e-05×40589641000000     		ar = 74702.8230809467m²