Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29555 / 15444
↖ ↑ ↗
← N 68.487985°
W 17.649536°		 ← 224 m → N 68.487985°
W 17.644043°		 →
↑
224 m
↓
↑
224 m
↓
N 68.485970°
W 17.649536°		 ← 224.02 m →
50 179 m²		 N 68.485970°
W 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450981140136719 y=0.235664367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450981140136719 × 216)
    floor (0.450981140136719 × 65536)
    floor (29555.5)     		tx = 29555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235664367675781 × 216)
    floor (0.235664367675781 × 65536)
    floor (15444.5)     		ty = 15444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29555 / 15444 ti = "16/29555/15444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29555/15444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29555 ÷ 216
    29555 ÷ 65536     		x = 0.450973510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15444 ÷ 216
    15444 ÷ 65536     		y = 0.23565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450973510742188 × 2 - 1) × π
    -0.098052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30804252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23565673828125 × 2 - 1) × π
    0.5286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.66091769803571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30804252} λ = -0.30804252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66091769803571))-π/2
    2×atan(5.2641395189717)-π/2
    2×1.38306857607037-π/2
    2.76613715214075-1.57079632675     		φ = 1.19534083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30804252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.649536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19534083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.487985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29555 KachelY 15444 -0.30804252 1.19534083 -17.649536 68.487985
    Oben rechts KachelX + 1 29556 KachelY 15444 -0.30794664 1.19534083 -17.644043 68.487985
    Unten links KachelX 29555 KachelY + 1 15445 -0.30804252 1.19530567 -17.649536 68.485970
    Unten rechts KachelX + 1 29556 KachelY + 1 15445 -0.30794664 1.19530567 -17.644043 68.485970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19534083-1.19530567) × R
    3.5159999999923e-05 × 6371000     		dl = 224.00435999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19534083-1.19530567) × R
    3.5159999999923e-05 × 6371000     		dr = 224.00435999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30804252--0.30794664) × cos(1.19534083) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.366696334314177 × 6371000     		do = 223.996998526372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30804252--0.30794664) × cos(1.19530567) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.36672904486615 × 6371000     		du = 224.016979815457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19534083)-sin(1.19530567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366696334314177-0.36672904486615)×R²
    abs(-0.30794664--0.30804252)×3.27105519736803e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.27105519736803e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.27105519736803e-05×40589641000000     		ar = 50178.5422501061m²