Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29554 / 17682
↖ ↑ ↗
← N 63.504475°
W 17.655029°		 ← 272.49 m → N 63.504475°
W 17.649536°		 →
↑
272.49 m
↓
↑
272.49 m
↓
N 63.502024°
W 17.655029°		 ← 272.51 m →
74 253 m²		 N 63.502024°
W 17.649536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450965881347656 y=0.269813537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450965881347656 × 216)
    floor (0.450965881347656 × 65536)
    floor (29554.5)     		tx = 29554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269813537597656 × 216)
    floor (0.269813537597656 × 65536)
    floor (17682.5)     		ty = 17682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29554 / 17682 ti = "16/29554/17682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29554/17682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29554 ÷ 216
    29554 ÷ 65536     		x = 0.450958251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17682 ÷ 216
    17682 ÷ 65536     		y = 0.269805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450958251953125 × 2 - 1) × π
    -0.09808349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30813839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269805908203125 × 2 - 1) × π
    0.46038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44635213533633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30813839} λ = -0.30813839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44635213533633))-π/2
    2×atan(4.24759158036797)-π/2
    2×1.33957924839706-π/2
    2.67915849679413-1.57079632675     		φ = 1.10836217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30813839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.655029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10836217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.504475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29554 KachelY 17682 -0.30813839 1.10836217 -17.655029 63.504475
    Oben rechts KachelX + 1 29555 KachelY 17682 -0.30804252 1.10836217 -17.649536 63.504475
    Unten links KachelX 29554 KachelY + 1 17683 -0.30813839 1.10831940 -17.655029 63.502024
    Unten rechts KachelX + 1 29555 KachelY + 1 17683 -0.30804252 1.10831940 -17.649536 63.502024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10836217-1.10831940) × R
    4.27699999998588e-05 × 6371000     		dl = 272.4876699991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10836217-1.10831940) × R
    4.27699999998588e-05 × 6371000     		dr = 272.4876699991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30813839--0.30804252) × cos(1.10836217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446127921864945 × 6371000     		do = 272.489478530618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30813839--0.30804252) × cos(1.10831940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446166199289773 × 6371000     		du = 272.51285791357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10836217)-sin(1.10831940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446127921864945-0.446166199289773)×R²
    abs(-0.30804252--0.30813839)×3.82774248276485e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82774248276485e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82774248276485e-05×40589641000000     		ar = 74253.2084120686m²