Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29553 / 17683
↖ ↑ ↗
← N 63.502024°
W 17.660522°		 ← 272.51 m → N 63.502024°
W 17.655029°		 →
↑
272.55 m
↓
↑
272.55 m
↓
N 63.499573°
W 17.660522°		 ← 272.54 m →
74 277 m²		 N 63.499573°
W 17.655029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450950622558594 y=0.269828796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450950622558594 × 216)
    floor (0.450950622558594 × 65536)
    floor (29553.5)     		tx = 29553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269828796386719 × 216)
    floor (0.269828796386719 × 65536)
    floor (17683.5)     		ty = 17683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29553 / 17683 ti = "16/29553/17683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29553/17683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29553 ÷ 216
    29553 ÷ 65536     		x = 0.450942993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17683 ÷ 216
    17683 ÷ 65536     		y = 0.269821166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450942993164062 × 2 - 1) × π
    -0.098114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30823426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269821166992188 × 2 - 1) × π
    0.460357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.44625626153709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30823426} λ = -0.30823426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44625626153709))-π/2
    2×atan(4.24718436714639)-π/2
    2×1.33955786149013-π/2
    2.67911572298027-1.57079632675     		φ = 1.10831940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30823426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.660522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10831940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.502024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29553 KachelY 17683 -0.30823426 1.10831940 -17.660522 63.502024
    Oben rechts KachelX + 1 29554 KachelY 17683 -0.30813839 1.10831940 -17.655029 63.502024
    Unten links KachelX 29553 KachelY + 1 17684 -0.30823426 1.10827662 -17.660522 63.499573
    Unten rechts KachelX + 1 29554 KachelY + 1 17684 -0.30813839 1.10827662 -17.655029 63.499573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10831940-1.10827662) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dl = 272.551380000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10831940-1.10827662) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dr = 272.551380000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30823426--0.30813839) × cos(1.10831940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446166199289773 × 6371000     		do = 272.51285791357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30823426--0.30813839) × cos(1.10827662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446204484847751 × 6371000     		du = 272.536242264151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10831940)-sin(1.10827662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446166199289773-0.446204484847751)×R²
    abs(-0.30813839--0.30823426)×3.8285557978468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8285557978468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8285557978468e-05×40589641000000     		ar = 74276.9422221435m²