Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29553 / 13454
↖ ↑ ↗
← N 72.158256°
W 17.660522°		 ← 187.14 m → N 72.158256°
W 17.655029°		 →
↑
187.18 m
↓
↑
187.18 m
↓
N 72.156573°
W 17.660522°		 ← 187.16 m →
35 030 m²		 N 72.156573°
W 17.655029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450950622558594 y=0.205299377441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450950622558594 × 216)
    floor (0.450950622558594 × 65536)
    floor (29553.5)     		tx = 29553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205299377441406 × 216)
    floor (0.205299377441406 × 65536)
    floor (13454.5)     		ty = 13454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29553 / 13454 ti = "16/29553/13454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29553/13454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29553 ÷ 216
    29553 ÷ 65536     		x = 0.450942993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13454 ÷ 216
    13454 ÷ 65536     		y = 0.205291748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450942993164062 × 2 - 1) × π
    -0.098114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30823426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205291748046875 × 2 - 1) × π
    0.58941650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.85170655852353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30823426} λ = -0.30823426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85170655852353))-π/2
    2×atan(6.37068219307136)-π/2
    2×1.41509773805458-π/2
    2.83019547610915-1.57079632675     		φ = 1.25939915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30823426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.660522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25939915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.158256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29553 KachelY 13454 -0.30823426 1.25939915 -17.660522 72.158256
    Oben rechts KachelX + 1 29554 KachelY 13454 -0.30813839 1.25939915 -17.655029 72.158256
    Unten links KachelX 29553 KachelY + 1 13455 -0.30823426 1.25936977 -17.660522 72.156573
    Unten rechts KachelX + 1 29554 KachelY + 1 13455 -0.30813839 1.25936977 -17.655029 72.156573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25939915-1.25936977) × R
    2.93799999999678e-05 × 6371000     		dl = 187.179979999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25939915-1.25936977) × R
    2.93799999999678e-05 × 6371000     		dr = 187.179979999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30823426--0.30813839) × cos(1.25939915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.306388916622494 × 6371000     		do = 187.138603136565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30823426--0.30813839) × cos(1.25936977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.306416883500864 × 6371000     		du = 187.155684963839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25939915)-sin(1.25936977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306388916622494-0.306416883500864)×R²
    abs(-0.30813839--0.30823426)×2.79668783702003e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79668783702003e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79668783702003e-05×40589641000000     		ar = 35030.1986828504m²