Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29552 / 17616
↖ ↑ ↗
← N 63.665760°
W 17.666016°		 ← 270.98 m → N 63.665760°
W 17.660522°		 →
↑
270.96 m
↓
↑
270.96 m
↓
N 63.663324°
W 17.666016°		 ← 271 m →
73 427 m²		 N 63.663324°
W 17.660522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450935363769531 y=0.268806457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450935363769531 × 216)
    floor (0.450935363769531 × 65536)
    floor (29552.5)     		tx = 29552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268806457519531 × 216)
    floor (0.268806457519531 × 65536)
    floor (17616.5)     		ty = 17616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29552 / 17616 ti = "16/29552/17616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29552/17616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29552 ÷ 216
    29552 ÷ 65536     		x = 0.450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17616 ÷ 216
    17616 ÷ 65536     		y = 0.268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.09814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30833014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268798828125 × 2 - 1) × π
    0.46240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45267980608618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30833014} λ = -0.30833014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45267980608618))-π/2
    2×atan(4.27455415655695)-π/2
    2×1.34098673272825-π/2
    2.6819734654565-1.57079632675     		φ = 1.11117714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30833014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.666016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11117714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.665760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29552 KachelY 17616 -0.30833014 1.11117714 -17.666016 63.665760
    Oben rechts KachelX + 1 29553 KachelY 17616 -0.30823426 1.11117714 -17.660522 63.665760
    Unten links KachelX 29552 KachelY + 1 17617 -0.30833014 1.11113461 -17.666016 63.663324
    Unten rechts KachelX + 1 29553 KachelY + 1 17617 -0.30823426 1.11113461 -17.660522 63.663324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11117714-1.11113461) × R
    4.25299999999851e-05 × 6371000     		dl = 270.958629999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11117714-1.11113461) × R
    4.25299999999851e-05 × 6371000     		dr = 270.958629999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30833014--0.30823426) × cos(1.11117714) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.443606846159856 × 6371000     		do = 270.97789851486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30833014--0.30823426) × cos(1.11113461) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44364496205878 × 6371000     		du = 271.001181668129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11117714)-sin(1.11113461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443606846159856-0.44364496205878)×R²
    abs(-0.30823426--0.30833014)×3.8115898923774e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.8115898923774e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.8115898923774e-05×40589641000000     		ar = 73426.9545384659m²