Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29552 / 13456
↖ ↑ ↗
← N 72.154889°
W 17.666016°		 ← 187.19 m → N 72.154889°
W 17.660522°		 →
↑
187.18 m
↓
↑
187.18 m
↓
N 72.153206°
W 17.666016°		 ← 187.21 m →
35 040 m²		 N 72.153206°
W 17.660522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450935363769531 y=0.205329895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450935363769531 × 216)
    floor (0.450935363769531 × 65536)
    floor (29552.5)     		tx = 29552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205329895019531 × 216)
    floor (0.205329895019531 × 65536)
    floor (13456.5)     		ty = 13456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29552 / 13456 ti = "16/29552/13456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29552/13456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29552 ÷ 216
    29552 ÷ 65536     		x = 0.450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13456 ÷ 216
    13456 ÷ 65536     		y = 0.205322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.09814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30833014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205322265625 × 2 - 1) × π
    0.58935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.85151481092505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30833014} λ = -0.30833014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85151481092505))-π/2
    2×atan(6.36946074716855)-π/2
    2×1.41506836070407-π/2
    2.83013672140814-1.57079632675     		φ = 1.25934039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30833014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.666016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25934039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.154889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29552 KachelY 13456 -0.30833014 1.25934039 -17.666016 72.154889
    Oben rechts KachelX + 1 29553 KachelY 13456 -0.30823426 1.25934039 -17.660522 72.154889
    Unten links KachelX 29552 KachelY + 1 13457 -0.30833014 1.25931101 -17.666016 72.153206
    Unten rechts KachelX + 1 29553 KachelY + 1 13457 -0.30823426 1.25931101 -17.660522 72.153206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25934039-1.25931101) × R
    2.93799999999678e-05 × 6371000     		dl = 187.179979999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25934039-1.25931101) × R
    2.93799999999678e-05 × 6371000     		dr = 187.179979999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30833014--0.30823426) × cos(1.25934039) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.30644485011474 × 6371000     		do = 187.192290230953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30833014--0.30823426) × cos(1.25931101) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.306472816464098 × 6371000     		du = 187.209373516848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25934039)-sin(1.25931101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30644485011474-0.306472816464098)×R²
    abs(-0.30823426--0.30833014)×2.79663493575333e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.79663493575333e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.79663493575333e-05×40589641000000     		ar = 35040.2479687267m²