Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29551 / 17623
↖ ↑ ↗
← N 63.648698°
W 17.671509°		 ← 271.11 m → N 63.648698°
W 17.666016°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
N 63.646259°
W 17.671509°		 ← 271.14 m →
73 515 m²		 N 63.646259°
W 17.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450920104980469 y=0.268913269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450920104980469 × 216)
    floor (0.450920104980469 × 65536)
    floor (29551.5)     		tx = 29551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268913269042969 × 216)
    floor (0.268913269042969 × 65536)
    floor (17623.5)     		ty = 17623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29551 / 17623 ti = "16/29551/17623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29551/17623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29551 ÷ 216
    29551 ÷ 65536     		x = 0.450912475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17623 ÷ 216
    17623 ÷ 65536     		y = 0.268905639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450912475585938 × 2 - 1) × π
    -0.098175048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30842601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268905639648438 × 2 - 1) × π
    0.462188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4520086894915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30842601} λ = -0.30842601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4520086894915))-π/2
    2×atan(4.27168639473653)-π/2
    2×1.34083783199696-π/2
    2.68167566399391-1.57079632675     		φ = 1.11087934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30842601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.671509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11087934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.648698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29551 KachelY 17623 -0.30842601 1.11087934 -17.671509 63.648698
    Oben rechts KachelX + 1 29552 KachelY 17623 -0.30833014 1.11087934 -17.666016 63.648698
    Unten links KachelX 29551 KachelY + 1 17624 -0.30842601 1.11083678 -17.671509 63.646259
    Unten rechts KachelX + 1 29552 KachelY + 1 17624 -0.30833014 1.11083678 -17.666016 63.646259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11087934-1.11083678) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dl = 271.149760000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11087934-1.11083678) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dr = 271.149760000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30842601--0.30833014) × cos(1.11087934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443873721246179 × 6371000     		do = 271.112640361549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30842601--0.30833014) × cos(1.11083678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443911858406812 × 6371000     		du = 271.135934072846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11087934)-sin(1.11083678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443873721246179-0.443911858406812)×R²
    abs(-0.30833014--0.30842601)×3.81371606330005e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81371606330005e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81371606330005e-05×40589641000000     		ar = 73515.2854203373m²