Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29551 / 15446
↖ ↑ ↗
← N 68.483956°
W 17.671509°		 ← 224.01 m → N 68.483956°
W 17.666016°		 →
↑
224.07 m
↓
↑
224.07 m
↓
N 68.481941°
W 17.671509°		 ← 224.03 m →
50 197 m²		 N 68.481941°
W 17.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450920104980469 y=0.235694885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450920104980469 × 216)
    floor (0.450920104980469 × 65536)
    floor (29551.5)     		tx = 29551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235694885253906 × 216)
    floor (0.235694885253906 × 65536)
    floor (15446.5)     		ty = 15446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29551 / 15446 ti = "16/29551/15446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29551/15446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29551 ÷ 216
    29551 ÷ 65536     		x = 0.450912475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15446 ÷ 216
    15446 ÷ 65536     		y = 0.235687255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450912475585938 × 2 - 1) × π
    -0.098175048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30842601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235687255859375 × 2 - 1) × π
    0.52862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.66072595043723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30842601} λ = -0.30842601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66072595043723))-π/2
    2×atan(5.26313022962836)-π/2
    2×1.38303341636326-π/2
    2.76606683272652-1.57079632675     		φ = 1.19527051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30842601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.671509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19527051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.483956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29551 KachelY 15446 -0.30842601 1.19527051 -17.671509 68.483956
    Oben rechts KachelX + 1 29552 KachelY 15446 -0.30833014 1.19527051 -17.666016 68.483956
    Unten links KachelX 29551 KachelY + 1 15447 -0.30842601 1.19523534 -17.671509 68.481941
    Unten rechts KachelX + 1 29552 KachelY + 1 15447 -0.30833014 1.19523534 -17.666016 68.481941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19527051-1.19523534) × R
    3.51700000000843e-05 × 6371000     		dl = 224.068070000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19527051-1.19523534) × R
    3.51700000000843e-05 × 6371000     		dr = 224.068070000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30842601--0.30833014) × cos(1.19527051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366761754964764 × 6371000     		do = 224.01359443621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30842601--0.30833014) × cos(1.19523534) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366794473912998 × 6371000     		du = 224.033578769638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19527051)-sin(1.19523534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366761754964764-0.366794473912998)×R²
    abs(-0.30833014--0.30842601)×3.27189482337564e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27189482337564e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27189482337564e-05×40589641000000     		ar = 50196.5326897548m²