Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29551 / 15440
↖ ↑ ↗
← N 68.496040°
W 17.671509°		 ← 223.89 m → N 68.496040°
W 17.666016°		 →
↑
223.94 m
↓
↑
223.94 m
↓
N 68.494026°
W 17.671509°		 ← 223.91 m →
50 141 m²		 N 68.494026°
W 17.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450920104980469 y=0.235603332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450920104980469 × 216)
    floor (0.450920104980469 × 65536)
    floor (29551.5)     		tx = 29551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235603332519531 × 216)
    floor (0.235603332519531 × 65536)
    floor (15440.5)     		ty = 15440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29551 / 15440 ti = "16/29551/15440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29551/15440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29551 ÷ 216
    29551 ÷ 65536     		x = 0.450912475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15440 ÷ 216
    15440 ÷ 65536     		y = 0.235595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450912475585938 × 2 - 1) × π
    -0.098175048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30842601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235595703125 × 2 - 1) × π
    0.52880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.66130119323267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30842601} λ = -0.30842601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66130119323267))-π/2
    2×atan(5.26615867833756)-π/2
    2×1.38313887667074-π/2
    2.76627775334147-1.57079632675     		φ = 1.19548143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30842601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.671509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19548143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.496040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29551 KachelY 15440 -0.30842601 1.19548143 -17.671509 68.496040
    Oben rechts KachelX + 1 29552 KachelY 15440 -0.30833014 1.19548143 -17.666016 68.496040
    Unten links KachelX 29551 KachelY + 1 15441 -0.30842601 1.19544628 -17.671509 68.494026
    Unten rechts KachelX + 1 29552 KachelY + 1 15441 -0.30833014 1.19544628 -17.666016 68.494026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19548143-1.19544628) × R
    3.51499999999838e-05 × 6371000     		dl = 223.940649999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19548143-1.19544628) × R
    3.51499999999838e-05 × 6371000     		dr = 223.940649999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30842601--0.30833014) × cos(1.19548143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366565524789182 × 6371000     		do = 223.893739444859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30842601--0.30833014) × cos(1.19544628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366598227849881 × 6371000     		du = 223.913714074376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19548143)-sin(1.19544628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366565524789182-0.366598227849881)×R²
    abs(-0.30833014--0.30842601)×3.27030606996348e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27030606996348e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27030606996348e-05×40589641000000     		ar = 50141.1461131479m²