Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29550 / 17635
↖ ↑ ↗
← N 63.619423°
W 17.677002°		 ← 271.42 m → N 63.619423°
W 17.671509°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
N 63.616982°
W 17.677002°		 ← 271.44 m →
73 668 m²		 N 63.616982°
W 17.671509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450904846191406 y=0.269096374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450904846191406 × 216)
    floor (0.450904846191406 × 65536)
    floor (29550.5)     		tx = 29550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269096374511719 × 216)
    floor (0.269096374511719 × 65536)
    floor (17635.5)     		ty = 17635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29550 / 17635 ti = "16/29550/17635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29550/17635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29550 ÷ 216
    29550 ÷ 65536     		x = 0.450897216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17635 ÷ 216
    17635 ÷ 65536     		y = 0.269088745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450897216796875 × 2 - 1) × π
    -0.09820556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30852189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269088745117188 × 2 - 1) × π
    0.461822509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45085820390062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30852189} λ = -0.30852189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45085820390062))-π/2
    2×atan(4.26677470704535)-π/2
    2×1.34058236518381-π/2
    2.68116473036761-1.57079632675     		φ = 1.11036840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30852189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.677002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11036840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.619423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29550 KachelY 17635 -0.30852189 1.11036840 -17.677002 63.619423
    Oben rechts KachelX + 1 29551 KachelY 17635 -0.30842601 1.11036840 -17.671509 63.619423
    Unten links KachelX 29550 KachelY + 1 17636 -0.30852189 1.11032580 -17.677002 63.616982
    Unten rechts KachelX + 1 29551 KachelY + 1 17636 -0.30842601 1.11032580 -17.671509 63.616982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11036840-1.11032580) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11036840-1.11032580) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30852189--0.30842601) × cos(1.11036840) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.444331511178956 × 6371000     		do = 271.420561214438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30852189--0.30842601) × cos(1.11032580) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.444369674515634 × 6371000     		du = 271.44387334513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11036840)-sin(1.11032580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444331511178956-0.444369674515634)×R²
    abs(-0.30842601--0.30852189)×3.81633366781098e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.81633366781098e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.81633366781098e-05×40589641000000     		ar = 73667.9523690658m²