Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29549 / 15445
↖ ↑ ↗
← N 68.485970°
W 17.682495°		 ← 223.99 m → N 68.485970°
W 17.677002°		 →
↑
224 m
↓
↑
224 m
↓
N 68.483956°
W 17.682495°		 ← 224.01 m →
50 178 m²		 N 68.483956°
W 17.677002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450889587402344 y=0.235679626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450889587402344 × 216)
    floor (0.450889587402344 × 65536)
    floor (29549.5)     		tx = 29549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235679626464844 × 216)
    floor (0.235679626464844 × 65536)
    floor (15445.5)     		ty = 15445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29549 / 15445 ti = "16/29549/15445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29549/15445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29549 ÷ 216
    29549 ÷ 65536     		x = 0.450881958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15445 ÷ 216
    15445 ÷ 65536     		y = 0.235671997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450881958007812 × 2 - 1) × π
    -0.098236083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30861776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235671997070312 × 2 - 1) × π
    0.528656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.66082182423647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30861776} λ = -0.30861776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66082182423647))-π/2
    2×atan(5.26363485010893)-π/2
    2×1.38305099700083-π/2
    2.76610199400165-1.57079632675     		φ = 1.19530567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30861776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.682495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19530567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.485970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29549 KachelY 15445 -0.30861776 1.19530567 -17.682495 68.485970
    Oben rechts KachelX + 1 29550 KachelY 15445 -0.30852189 1.19530567 -17.677002 68.485970
    Unten links KachelX 29549 KachelY + 1 15446 -0.30861776 1.19527051 -17.682495 68.483956
    Unten rechts KachelX + 1 29550 KachelY + 1 15446 -0.30852189 1.19527051 -17.677002 68.483956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19530567-1.19527051) × R
    3.5159999999923e-05 × 6371000     		dl = 224.00435999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19530567-1.19527051) × R
    3.5159999999923e-05 × 6371000     		dr = 224.00435999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30861776--0.30852189) × cos(1.19530567) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36672904486615 × 6371000     		do = 223.993615508021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30861776--0.30852189) × cos(1.19527051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366761754964764 × 6371000     		du = 224.01359443621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19530567)-sin(1.19527051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36672904486615-0.366761754964764)×R²
    abs(-0.30852189--0.30861776)×3.27100986138862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27100986138862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27100986138862e-05×40589641000000     		ar = 50177.7841743169m²