Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29548 / 40924
↖ ↑ ↗
← S 40.830437°
W 17.687988°		 ← 462.15 m → S 40.830437°
W 17.682495°		 →
↑
462.15 m
↓
↑
462.15 m
↓
S 40.834593°
W 17.687988°		 ← 462.12 m →
213 578 m²		 S 40.834593°
W 17.682495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450874328613281 y=0.624458312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450874328613281 × 216)
    floor (0.450874328613281 × 65536)
    floor (29548.5)     		tx = 29548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624458312988281 × 216)
    floor (0.624458312988281 × 65536)
    floor (40924.5)     		ty = 40924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29548 / 40924 ti = "16/29548/40924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29548/40924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29548 ÷ 216
    29548 ÷ 65536     		x = 0.45086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40924 ÷ 216
    40924 ÷ 65536     		y = 0.62445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45086669921875 × 2 - 1) × π
    -0.0982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30871363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.2489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.781946706602356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30871363} λ = -0.30871363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781946706602356))-π/2
    2×atan(0.457514497336066)-π/2
    2×0.429085384134558-π/2
    0.858170768269115-1.57079632675     		φ = -0.71262556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30871363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.687988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71262556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.830437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29548 KachelY 40924 -0.30871363 -0.71262556 -17.687988 -40.830437
    Oben rechts KachelX + 1 29549 KachelY 40924 -0.30861776 -0.71262556 -17.682495 -40.830437
    Unten links KachelX 29548 KachelY + 1 40925 -0.30871363 -0.71269810 -17.687988 -40.834593
    Unten rechts KachelX + 1 29549 KachelY + 1 40925 -0.30861776 -0.71269810 -17.682495 -40.834593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71262556--0.71269810) × R
    7.25400000000098e-05 × 6371000     		dl = 462.152340000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71262556--0.71269810) × R
    7.25400000000098e-05 × 6371000     		dr = 462.152340000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30871363--0.30861776) × cos(-0.71262556) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.756647835373912 × 6371000     		do = 462.151244043348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30871363--0.30861776) × cos(-0.71269810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.756600405088408 × 6371000     		du = 462.122274205035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71262556)-sin(-0.71269810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756647835373912-0.756600405088408)×R²
    abs(-0.30861776--0.30871363)×4.74302855036912e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74302855036912e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74302855036912e-05×40589641000000     		ar = 213577.584723141m²