Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29544 / 40776
↖ ↑ ↗
← S 40.212441°
W 17.709961°		 ← 466.48 m → S 40.212441°
W 17.704467°		 →
↑
466.42 m
↓
↑
466.42 m
↓
S 40.216635°
W 17.709961°		 ← 466.45 m →
217 569 m²		 S 40.216635°
W 17.704467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450813293457031 y=0.622200012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450813293457031 × 216)
    floor (0.450813293457031 × 65536)
    floor (29544.5)     		tx = 29544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622200012207031 × 216)
    floor (0.622200012207031 × 65536)
    floor (40776.5)     		ty = 40776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29544 / 40776 ti = "16/29544/40776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29544/40776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29544 ÷ 216
    29544 ÷ 65536     		x = 0.4508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40776 ÷ 216
    40776 ÷ 65536     		y = 0.6221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30909713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.244384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.767757384314819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30909713} λ = -0.30909713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767757384314819))-π/2
    2×atan(0.464052593873156)-π/2
    2×0.434478418007261-π/2
    0.868956836014522-1.57079632675     		φ = -0.70183949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30909713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.709961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70183949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.212441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29544 KachelY 40776 -0.30909713 -0.70183949 -17.709961 -40.212441
    Oben rechts KachelX + 1 29545 KachelY 40776 -0.30900125 -0.70183949 -17.704467 -40.212441
    Unten links KachelX 29544 KachelY + 1 40777 -0.30909713 -0.70191270 -17.709961 -40.216635
    Unten rechts KachelX + 1 29545 KachelY + 1 40777 -0.30900125 -0.70191270 -17.704467 -40.216635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70183949--0.70191270) × R
    7.32099999999347e-05 × 6371000     		dl = 466.420909999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70183949--0.70191270) × R
    7.32099999999347e-05 × 6371000     		dr = 466.420909999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30909713--0.30900125) × cos(-0.70183949) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.763655861952434 × 6371000     		do = 466.480313484284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30909713--0.30900125) × cos(-0.70191270) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.763608593808379 × 6371000     		du = 466.451439668532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70183949)-sin(-0.70191270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763655861952434-0.763608593808379)×R²
    abs(-0.30900125--0.30909713)×4.72681440540912e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72681440540912e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72681440540912e-05×40589641000000     		ar = 217569.438733528m²