Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29544 / 21194
↖ ↑ ↗
← N 76.386848°
W 98.854980°		 ← 71.89 m → N 76.386848°
W 98.852234°		 →
↑
71.86 m
↓
↑
71.86 m
↓
N 76.386202°
W 98.854980°		 ← 71.89 m →
5 166 m²		 N 76.386202°
W 98.852234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225406646728516 y=0.161701202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225406646728516 × 217)
    floor (0.225406646728516 × 131072)
    floor (29544.5)     		tx = 29544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161701202392578 × 217)
    floor (0.161701202392578 × 131072)
    floor (21194.5)     		ty = 21194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29544 / 21194 ti = "17/29544/21194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29544/21194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29544 ÷ 217
    29544 ÷ 131072     		x = 0.22540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21194 ÷ 217
    21194 ÷ 131072     		y = 0.161697387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.5491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.72534489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161697387695312 × 2 - 1) × π
    0.676605224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12561800295253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72534489} λ = -1.72534489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12561800295253))-π/2
    2×atan(8.37807356274612)-π/2
    2×1.45199917064482-π/2
    2.90399834128965-1.57079632675     		φ = 1.33320201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72534489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.854980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33320201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.386848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29544 KachelY 21194 -1.72534489 1.33320201 -98.854980 76.386848
    Oben rechts KachelX + 1 29545 KachelY 21194 -1.72529695 1.33320201 -98.852234 76.386848
    Unten links KachelX 29544 KachelY + 1 21195 -1.72534489 1.33319073 -98.854980 76.386202
    Unten rechts KachelX + 1 29545 KachelY + 1 21195 -1.72529695 1.33319073 -98.852234 76.386202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33320201-1.33319073) × R
    1.12799999998359e-05 × 6371000     		dl = 71.8648799989543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33320201-1.33319073) × R
    1.12799999998359e-05 × 6371000     		dr = 71.8648799989543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72534489--1.72529695) × cos(1.33320201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23536520939919 × 6371000     		do = 71.8865932509555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72534489--1.72529695) × cos(1.33319073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235376172495185 × 6371000     		du = 71.8899416626625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33320201)-sin(1.33319073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23536520939919-0.235376172495185)×R²
    abs(-1.72529695--1.72534489)×1.09630959948814e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09630959948814e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09630959948814e-05×40589641000000     		ar = 5166.24171433284m²