Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29543 / 40777
↖ ↑ ↗
← S 40.216635°
W 17.715454°		 ← 466.40 m → S 40.216635°
W 17.709961°		 →
↑
466.42 m
↓
↑
466.42 m
↓
S 40.220830°
W 17.715454°		 ← 466.37 m →
217 533 m²		 S 40.220830°
W 17.709961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450798034667969 y=0.622215270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450798034667969 × 216)
    floor (0.450798034667969 × 65536)
    floor (29543.5)     		tx = 29543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622215270996094 × 216)
    floor (0.622215270996094 × 65536)
    floor (40777.5)     		ty = 40777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29543 / 40777 ti = "16/29543/40777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29543/40777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29543 ÷ 216
    29543 ÷ 65536     		x = 0.450790405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40777 ÷ 216
    40777 ÷ 65536     		y = 0.622207641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450790405273438 × 2 - 1) × π
    -0.098419189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30919300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622207641601562 × 2 - 1) × π
    -0.244415283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.767853258114059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30919300} λ = -0.30919300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767853258114059))-π/2
    2×atan(0.464008105520602)-π/2
    2×0.434441811845862-π/2
    0.868883623691724-1.57079632675     		φ = -0.70191270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30919300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.715454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70191270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.216635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29543 KachelY 40777 -0.30919300 -0.70191270 -17.715454 -40.216635
    Oben rechts KachelX + 1 29544 KachelY 40777 -0.30909713 -0.70191270 -17.709961 -40.216635
    Unten links KachelX 29543 KachelY + 1 40778 -0.30919300 -0.70198591 -17.715454 -40.220830
    Unten rechts KachelX + 1 29544 KachelY + 1 40778 -0.30909713 -0.70198591 -17.709961 -40.220830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70191270--0.70198591) × R
    7.32100000000457e-05 × 6371000     		dl = 466.420910000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70191270--0.70198591) × R
    7.32100000000457e-05 × 6371000     		dr = 466.420910000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30919300--0.30909713) × cos(-0.70191270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.763608593808379 × 6371000     		do = 466.402790165046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30919300--0.30909713) × cos(-0.70198591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.763561321571609 × 6371000     		du = 466.373916860966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70191270)-sin(-0.70198591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763608593808379-0.763561321571609)×R²
    abs(-0.30909713--0.30919300)×4.72722367702572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72722367702572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72722367702572e-05×40589641000000     		ar = 217533.280356114m²