Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29543 / 40775
↖ ↑ ↗
← S 40.208245°
W 17.715454°		 ← 466.46 m → S 40.208245°
W 17.709961°		 →
↑
466.48 m
↓
↑
466.48 m
↓
S 40.212441°
W 17.715454°		 ← 466.43 m →
217 590 m²		 S 40.212441°
W 17.709961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450798034667969 y=0.622184753417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450798034667969 × 216)
    floor (0.450798034667969 × 65536)
    floor (29543.5)     		tx = 29543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622184753417969 × 216)
    floor (0.622184753417969 × 65536)
    floor (40775.5)     		ty = 40775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29543 / 40775 ti = "16/29543/40775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29543/40775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29543 ÷ 216
    29543 ÷ 65536     		x = 0.450790405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40775 ÷ 216
    40775 ÷ 65536     		y = 0.622177124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450790405273438 × 2 - 1) × π
    -0.098419189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30919300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622177124023438 × 2 - 1) × π
    -0.244354248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.767661510515579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30919300} λ = -0.30919300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767661510515579))-π/2
    2×atan(0.464097086491182)-π/2
    2×0.434515026434592-π/2
    0.869030052869185-1.57079632675     		φ = -0.70176627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30919300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.715454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70176627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.208245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29543 KachelY 40775 -0.30919300 -0.70176627 -17.715454 -40.208245
    Oben rechts KachelX + 1 29544 KachelY 40775 -0.30909713 -0.70176627 -17.709961 -40.208245
    Unten links KachelX 29543 KachelY + 1 40776 -0.30919300 -0.70183949 -17.715454 -40.212441
    Unten rechts KachelX + 1 29544 KachelY + 1 40776 -0.30909713 -0.70183949 -17.709961 -40.212441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70176627--0.70183949) × R
    7.3219999999985e-05 × 6371000     		dl = 466.484619999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70176627--0.70183949) × R
    7.3219999999985e-05 × 6371000     		dr = 466.484619999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30919300--0.30909713) × cos(-0.70176627) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.763703132459194 × 6371000     		do = 466.460533216756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30919300--0.30909713) × cos(-0.70183949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.763655861952434 × 6371000     		du = 466.431660969344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70176627)-sin(-0.70183949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763703132459194-0.763655861952434)×R²
    abs(-0.30909713--0.30919300)×4.72705067607881e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72705067607881e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72705067607881e-05×40589641000000     		ar = 217589.930450407m²