Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29542 / 40808
↖ ↑ ↗
← S 40.346544°
W 17.720947°		 ← 465.56 m → S 40.346544°
W 17.715454°		 →
↑
465.47 m
↓
↑
465.47 m
↓
S 40.350730°
W 17.720947°		 ← 465.53 m →
216 693 m²		 S 40.350730°
W 17.715454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450782775878906 y=0.622688293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450782775878906 × 216)
    floor (0.450782775878906 × 65536)
    floor (29542.5)     		tx = 29542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622688293457031 × 216)
    floor (0.622688293457031 × 65536)
    floor (40808.5)     		ty = 40808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29542 / 40808 ti = "16/29542/40808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29542/40808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29542 ÷ 216
    29542 ÷ 65536     		x = 0.450775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40808 ÷ 216
    40808 ÷ 65536     		y = 0.6226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.09844970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30928888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.770825345890503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30928888} λ = -0.30928888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770825345890503))-π/2
    2×atan(0.462631080035959)-π/2
    2×0.433308145047967-π/2
    0.866616290095934-1.57079632675     		φ = -0.70418004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30928888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.720947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70418004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.346544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29542 KachelY 40808 -0.30928888 -0.70418004 -17.720947 -40.346544
    Oben rechts KachelX + 1 29543 KachelY 40808 -0.30919300 -0.70418004 -17.715454 -40.346544
    Unten links KachelX 29542 KachelY + 1 40809 -0.30928888 -0.70425310 -17.720947 -40.350730
    Unten rechts KachelX + 1 29543 KachelY + 1 40809 -0.30919300 -0.70425310 -17.715454 -40.350730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70418004--0.70425310) × R
    7.30599999999582e-05 × 6371000     		dl = 465.465259999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70418004--0.70425310) × R
    7.30599999999582e-05 × 6371000     		dr = 465.465259999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30928888--0.30919300) × cos(-0.70418004) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.762142657492576 × 6371000     		do = 465.555970300438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30928888--0.30919300) × cos(-0.70425310) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.762095355748188 × 6371000     		du = 465.527075959871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70418004)-sin(-0.70425310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762142657492576-0.762095355748188)×R²
    abs(-0.30919300--0.30928888)×4.73017443886059e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73017443886059e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73017443886059e-05×40589641000000     		ar = 216693.40620087m²