Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29542 / 40806
↖ ↑ ↗
← S 40.338171°
W 17.720947°		 ← 465.61 m → S 40.338171°
W 17.715454°		 →
↑
465.53 m
↓
↑
465.53 m
↓
S 40.342357°
W 17.720947°		 ← 465.58 m →
216 750 m²		 S 40.342357°
W 17.715454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450782775878906 y=0.622657775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450782775878906 × 216)
    floor (0.450782775878906 × 65536)
    floor (29542.5)     		tx = 29542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622657775878906 × 216)
    floor (0.622657775878906 × 65536)
    floor (40806.5)     		ty = 40806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29542 / 40806 ti = "16/29542/40806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29542/40806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29542 ÷ 216
    29542 ÷ 65536     		x = 0.450775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40806 ÷ 216
    40806 ÷ 65536     		y = 0.622650146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.09844970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30928888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.24530029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.770633598292023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30928888} λ = -0.30928888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770633598292023))-π/2
    2×atan(0.462719796939893)-π/2
    2×0.43338121909563-π/2
    0.866762438191259-1.57079632675     		φ = -0.70403389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30928888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.720947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70403389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.338171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29542 KachelY 40806 -0.30928888 -0.70403389 -17.720947 -40.338171
    Oben rechts KachelX + 1 29543 KachelY 40806 -0.30919300 -0.70403389 -17.715454 -40.338171
    Unten links KachelX 29542 KachelY + 1 40807 -0.30928888 -0.70410696 -17.720947 -40.342357
    Unten rechts KachelX + 1 29543 KachelY + 1 40807 -0.30919300 -0.70410696 -17.715454 -40.342357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70403389--0.70410696) × R
    7.30699999998974e-05 × 6371000     		dl = 465.528969999346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70403389--0.70410696) × R
    7.30699999998974e-05 × 6371000     		dr = 465.528969999346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30928888--0.30919300) × cos(-0.70403389) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.762237268195621 × 6371000     		do = 465.613763388416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30928888--0.30919300) × cos(-0.70410696) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.762189968115896 × 6371000     		du = 465.584870064712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70403389)-sin(-0.70410696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762237268195621-0.762189968115896)×R²
    abs(-0.30919300--0.30928888)×4.73000797249767e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73000797249767e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73000797249767e-05×40589641000000     		ar = 216749.970444351m²