Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29542 / 23065
↖ ↑ ↗
← N 46.946512°
W 17.720947°		 ← 417.02 m → N 46.946512°
W 17.715454°		 →
↑
416.98 m
↓
↑
416.98 m
↓
N 46.942762°
W 17.720947°		 ← 417.05 m →
173 894 m²		 N 46.942762°
W 17.715454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450782775878906 y=0.351951599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450782775878906 × 216)
    floor (0.450782775878906 × 65536)
    floor (29542.5)     		tx = 29542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351951599121094 × 216)
    floor (0.351951599121094 × 65536)
    floor (23065.5)     		ty = 23065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29542 / 23065 ti = "16/29542/23065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29542/23065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29542 ÷ 216
    29542 ÷ 65536     		x = 0.450775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23065 ÷ 216
    23065 ÷ 65536     		y = 0.351943969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.09844970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30928888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351943969726562 × 2 - 1) × π
    0.296112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.93026347402681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30928888} λ = -0.30928888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93026347402681))-π/2
    2×atan(2.53517704293559)-π/2
    2×1.19508376933377-π/2
    2.39016753866754-1.57079632675     		φ = 0.81937121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30928888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.720947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81937121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.946512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29542 KachelY 23065 -0.30928888 0.81937121 -17.720947 46.946512
    Oben rechts KachelX + 1 29543 KachelY 23065 -0.30919300 0.81937121 -17.715454 46.946512
    Unten links KachelX 29542 KachelY + 1 23066 -0.30928888 0.81930576 -17.720947 46.942762
    Unten rechts KachelX + 1 29543 KachelY + 1 23066 -0.30919300 0.81930576 -17.715454 46.942762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81937121-0.81930576) × R
    6.54500000000224e-05 × 6371000     		dl = 416.981950000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81937121-0.81930576) × R
    6.54500000000224e-05 × 6371000     		dr = 416.981950000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30928888--0.30919300) × cos(0.81937121) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682680809576356 × 6371000     		do = 417.016582897283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30928888--0.30919300) × cos(0.81930576) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682728633522879 × 6371000     		du = 417.045796225796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81937121)-sin(0.81930576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682680809576356-0.682728633522879)×R²
    abs(-0.30919300--0.30928888)×4.78239465225849e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78239465225849e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78239465225849e-05×40589641000000     		ar = 173894.478696253m²