Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29541 / 23070
↖ ↑ ↗
← N 46.927759°
W 17.726440°		 ← 417.12 m → N 46.927759°
W 17.720947°		 →
↑
417.17 m
↓
↑
417.17 m
↓
N 46.924007°
W 17.726440°		 ← 417.15 m →
174 017 m²		 N 46.924007°
W 17.720947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450767517089844 y=0.352027893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450767517089844 × 216)
    floor (0.450767517089844 × 65536)
    floor (29541.5)     		tx = 29541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352027893066406 × 216)
    floor (0.352027893066406 × 65536)
    floor (23070.5)     		ty = 23070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29541 / 23070 ti = "16/29541/23070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29541/23070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29541 ÷ 216
    29541 ÷ 65536     		x = 0.450759887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23070 ÷ 216
    23070 ÷ 65536     		y = 0.352020263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450759887695312 × 2 - 1) × π
    -0.098480224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30938475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352020263671875 × 2 - 1) × π
    0.29595947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.929784105030609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30938475} λ = -0.30938475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929784105030609))-π/2
    2×atan(2.53396204889983)-π/2
    2×1.19492011266842-π/2
    2.38984022533684-1.57079632675     		φ = 0.81904390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30938475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.726440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81904390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.927759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29541 KachelY 23070 -0.30938475 0.81904390 -17.726440 46.927759
    Oben rechts KachelX + 1 29542 KachelY 23070 -0.30928888 0.81904390 -17.720947 46.927759
    Unten links KachelX 29541 KachelY + 1 23071 -0.30938475 0.81897842 -17.726440 46.924007
    Unten rechts KachelX + 1 29542 KachelY + 1 23071 -0.30928888 0.81897842 -17.720947 46.924007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81904390-0.81897842) × R
    6.54800000000622e-05 × 6371000     		dl = 417.173080000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81904390-0.81897842) × R
    6.54800000000622e-05 × 6371000     		dr = 417.173080000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30938475--0.30928888) × cos(0.81904390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682919943890452 × 6371000     		do = 417.119149617365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30938475--0.30928888) × cos(0.81897842) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682967775122667 × 6371000     		du = 417.148364349026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81904390)-sin(0.81897842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682919943890452-0.682967775122667)×R²
    abs(-0.30928888--0.30938475)×4.78312322159669e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78312322159669e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78312322159669e-05×40589641000000     		ar = 174016.974234745m²