Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2954 / 3458
↖ ↑ ↗
← N 26.980828°
W 50.185547°		 ← 4 354.64 m → N 26.980828°
W 50.141602°		 →
↑
4 355.34 m
↓
↑
4 355.34 m
↓
N 26.941660°
W 50.185547°		 ← 4 356.15 m →
18 969 247 m²		 N 26.941660°
W 50.141602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36065673828125 y=0.42218017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36065673828125 × 213)
    floor (0.36065673828125 × 8192)
    floor (2954.5)     		tx = 2954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42218017578125 × 213)
    floor (0.42218017578125 × 8192)
    floor (3458.5)     		ty = 3458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2954 / 3458 ti = "13/2954/3458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2954/3458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2954 ÷ 213
    2954 ÷ 8192     		x = 0.360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3458 ÷ 213
    3458 ÷ 8192     		y = 0.422119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.27880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87590303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422119140625 × 2 - 1) × π
    0.15576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.489339871321533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87590303} λ = -0.87590303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489339871321533))-π/2
    2×atan(1.63123903678513)-π/2
    2×1.0208503103012-π/2
    2.04170062060239-1.57079632675     		φ = 0.47090429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87590303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47090429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.980828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2954 KachelY 3458 -0.87590303 0.47090429 -50.185547 26.980828
    Oben rechts KachelX + 1 2955 KachelY 3458 -0.87513604 0.47090429 -50.141602 26.980828
    Unten links KachelX 2954 KachelY + 1 3459 -0.87590303 0.47022067 -50.185547 26.941660
    Unten rechts KachelX + 1 2955 KachelY + 1 3459 -0.87513604 0.47022067 -50.141602 26.941660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47090429-0.47022067) × R
    0.000683619999999996 × 6371000     		dl = 4355.34301999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47090429-0.47022067) × R
    0.000683619999999996 × 6371000     		dr = 4355.34301999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87590303--0.87513604) × cos(0.47090429) × R
    0.000766990000000023 × 0.891158383176458 × 6371000     		do = 4354.63945971914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87590303--0.87513604) × cos(0.47022067) × R
    0.000766990000000023 × 0.891468328071976 × 6371000     		du = 4356.15400337136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47090429)-sin(0.47022067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891158383176458-0.891468328071976)×R²
    abs(-0.87513604--0.87590303)×0.000309944895517167×R²
    0.000766990000000023×0.000309944895517167×6371000²
    0.000766990000000023×0.000309944895517167×40589641000000     		ar = 18969247.4928191m²