Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29539 / 17643
↖ ↑ ↗
← N 63.599890°
W 17.737427°		 ← 271.61 m → N 63.599890°
W 17.731933°		 →
↑
271.60 m
↓
↑
271.60 m
↓
N 63.597448°
W 17.737427°		 ← 271.63 m →
73 770 m²		 N 63.597448°
W 17.731933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450736999511719 y=0.269218444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450736999511719 × 216)
    floor (0.450736999511719 × 65536)
    floor (29539.5)     		tx = 29539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269218444824219 × 216)
    floor (0.269218444824219 × 65536)
    floor (17643.5)     		ty = 17643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29539 / 17643 ti = "16/29539/17643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29539/17643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29539 ÷ 216
    29539 ÷ 65536     		x = 0.450729370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17643 ÷ 216
    17643 ÷ 65536     		y = 0.269210815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450729370117188 × 2 - 1) × π
    -0.098541259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30957650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269210815429688 × 2 - 1) × π
    0.461578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4500912135067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30957650} λ = -0.30957650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4500912135067))-π/2
    2×atan(4.26350338652809)-π/2
    2×1.34041190763243-π/2
    2.68082381526486-1.57079632675     		φ = 1.11002749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30957650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.737427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11002749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.599890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29539 KachelY 17643 -0.30957650 1.11002749 -17.737427 63.599890
    Oben rechts KachelX + 1 29540 KachelY 17643 -0.30948062 1.11002749 -17.731933 63.599890
    Unten links KachelX 29539 KachelY + 1 17644 -0.30957650 1.10998486 -17.737427 63.597448
    Unten rechts KachelX + 1 29540 KachelY + 1 17644 -0.30948062 1.10998486 -17.731933 63.597448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11002749-1.10998486) × R
    4.26300000000435e-05 × 6371000     		dl = 271.595730000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11002749-1.10998486) × R
    4.26300000000435e-05 × 6371000     		dr = 271.595730000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30957650--0.30948062) × cos(1.11002749) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.444636893816825 × 6371000     		do = 271.60710465059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30957650--0.30948062) × cos(1.10998486) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.444675077568845 × 6371000     		du = 271.630429252023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11002749)-sin(1.10998486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444636893816825-0.444675077568845)×R²
    abs(-0.30948062--0.30957650)×3.81837520197492e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.81837520197492e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.81837520197492e-05×40589641000000     		ar = 73770.4973028577m²