Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29538 / 21350
↖ ↑ ↗
← N 76.285635°
W 98.871460°		 ← 72.40 m → N 76.285635°
W 98.868714°		 →
↑
72.44 m
↓
↑
72.44 m
↓
N 76.284984°
W 98.871460°		 ← 72.40 m →
5 244 m²		 N 76.284984°
W 98.868714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225360870361328 y=0.162891387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225360870361328 × 217)
    floor (0.225360870361328 × 131072)
    floor (29538.5)     		tx = 29538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162891387939453 × 217)
    floor (0.162891387939453 × 131072)
    floor (21350.5)     		ty = 21350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29538 / 21350 ti = "17/29538/21350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29538/21350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29538 ÷ 217
    29538 ÷ 131072     		x = 0.225357055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21350 ÷ 217
    21350 ÷ 131072     		y = 0.162887573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225357055664062 × 2 - 1) × π
    -0.549285888671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72563251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162887573242188 × 2 - 1) × π
    0.674224853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1181398466118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72563251} λ = -1.72563251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1181398466118))-π/2
    2×atan(8.31565469870803)-π/2
    2×1.45111591631138-π/2
    2.90223183262276-1.57079632675     		φ = 1.33143551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72563251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.871460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33143551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.285635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29538 KachelY 21350 -1.72563251 1.33143551 -98.871460 76.285635
    Oben rechts KachelX + 1 29539 KachelY 21350 -1.72558458 1.33143551 -98.868714 76.285635
    Unten links KachelX 29538 KachelY + 1 21351 -1.72563251 1.33142414 -98.871460 76.284984
    Unten rechts KachelX + 1 29539 KachelY + 1 21351 -1.72558458 1.33142414 -98.868714 76.284984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33143551-1.33142414) × R
    1.1369999999955e-05 × 6371000     		dl = 72.4382699997135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33143551-1.33142414) × R
    1.1369999999955e-05 × 6371000     		dr = 72.4382699997135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72563251--1.72558458) × cos(1.33143551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.237081714992089 × 6371000     		do = 72.3957537659102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72563251--1.72558458) × cos(1.33142414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.237092760814789 × 6371000     		du = 72.3991267407529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33143551)-sin(1.33142414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237081714992089-0.237092760814789)×R²
    abs(-1.72558458--1.72563251)×1.1045822699951e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.1045822699951e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.1045822699951e-05×40589641000000     		ar = 5244.34532452625m²