Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29537 / 17644
↖ ↑ ↗
← N 63.597448°
W 17.748413°		 ← 271.63 m → N 63.597448°
W 17.742920°		 →
↑
271.66 m
↓
↑
271.66 m
↓
N 63.595005°
W 17.748413°		 ← 271.65 m →
73 794 m²		 N 63.595005°
W 17.742920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450706481933594 y=0.269233703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450706481933594 × 216)
    floor (0.450706481933594 × 65536)
    floor (29537.5)     		tx = 29537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269233703613281 × 216)
    floor (0.269233703613281 × 65536)
    floor (17644.5)     		ty = 17644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29537 / 17644 ti = "16/29537/17644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29537/17644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29537 ÷ 216
    29537 ÷ 65536     		x = 0.450698852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17644 ÷ 216
    17644 ÷ 65536     		y = 0.26922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450698852539062 × 2 - 1) × π
    -0.098602294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30976825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26922607421875 × 2 - 1) × π
    0.4615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.44999533970746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30976825} λ = -0.30976825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44999533970746))-π/2
    2×atan(4.26309464785433)-π/2
    2×1.340390592203-π/2
    2.680781184406-1.57079632675     		φ = 1.10998486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30976825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.748413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10998486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.597448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29537 KachelY 17644 -0.30976825 1.10998486 -17.748413 63.597448
    Oben rechts KachelX + 1 29538 KachelY 17644 -0.30967237 1.10998486 -17.742920 63.597448
    Unten links KachelX 29537 KachelY + 1 17645 -0.30976825 1.10994222 -17.748413 63.595005
    Unten rechts KachelX + 1 29538 KachelY + 1 17645 -0.30967237 1.10994222 -17.742920 63.595005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10998486-1.10994222) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dl = 271.65943999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10998486-1.10994222) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dr = 271.65943999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30976825--0.30967237) × cos(1.10998486) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.444675077568845 × 6371000     		do = 271.63042925218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30976825--0.30967237) × cos(1.10994222) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.444713269469479 × 6371000     		du = 271.653758831207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10998486)-sin(1.10994222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444675077568845-0.444713269469479)×R²
    abs(-0.30967237--0.30976825)×3.81919006340881e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.81919006340881e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.81919006340881e-05×40589641000000     		ar = 73794.1391589777m²