Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29535 / 41241
↖ ↑ ↗
← S 42.134895°
W 17.759399°		 ← 452.94 m → S 42.134895°
W 17.753906°		 →
↑
452.91 m
↓
↑
452.91 m
↓
S 42.138968°
W 17.759399°		 ← 452.91 m →
205 137 m²		 S 42.138968°
W 17.753906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450675964355469 y=0.629295349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450675964355469 × 216)
    floor (0.450675964355469 × 65536)
    floor (29535.5)     		tx = 29535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629295349121094 × 216)
    floor (0.629295349121094 × 65536)
    floor (41241.5)     		ty = 41241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29535 / 41241 ti = "16/29535/41241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29535/41241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29535 ÷ 216
    29535 ÷ 65536     		x = 0.450668334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41241 ÷ 216
    41241 ÷ 65536     		y = 0.629287719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450668334960938 × 2 - 1) × π
    -0.098663330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30995999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629287719726562 × 2 - 1) × π
    -0.258575439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.812338700961472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30995999} λ = -0.30995999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.812338700961472))-π/2
    2×atan(0.443818891868427)-π/2
    2×0.417701839677548-π/2
    0.835403679355096-1.57079632675     		φ = -0.73539265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30995999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.759399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73539265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.134895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29535 KachelY 41241 -0.30995999 -0.73539265 -17.759399 -42.134895
    Oben rechts KachelX + 1 29536 KachelY 41241 -0.30986412 -0.73539265 -17.753906 -42.134895
    Unten links KachelX 29535 KachelY + 1 41242 -0.30995999 -0.73546374 -17.759399 -42.138968
    Unten rechts KachelX + 1 29536 KachelY + 1 41242 -0.30986412 -0.73546374 -17.753906 -42.138968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73539265--0.73546374) × R
    7.10900000000514e-05 × 6371000     		dl = 452.914390000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73539265--0.73546374) × R
    7.10900000000514e-05 × 6371000     		dr = 452.914390000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30995999--0.30986412) × cos(-0.73539265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.741567390176918 × 6371000     		do = 452.94029255087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30995999--0.30986412) × cos(-0.73546374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.741519695558793 × 6371000     		du = 452.911161261424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73539265)-sin(-0.73546374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741567390176918-0.741519695558793)×R²
    abs(-0.30986412--0.30995999)×4.76946181251492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76946181251492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76946181251492e-05×40589641000000     		ar = 205136.579403715m²