Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29532 / 40796
↖ ↑ ↗
← S 40.296287°
W 17.775879°		 ← 465.85 m → S 40.296287°
W 17.770386°		 →
↑
465.85 m
↓
↑
465.85 m
↓
S 40.300476°
W 17.775879°		 ← 465.83 m →
217 010 m²		 S 40.300476°
W 17.770386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450630187988281 y=0.622505187988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450630187988281 × 216)
    floor (0.450630187988281 × 65536)
    floor (29532.5)     		tx = 29532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622505187988281 × 216)
    floor (0.622505187988281 × 65536)
    floor (40796.5)     		ty = 40796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29532 / 40796 ti = "16/29532/40796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29532/40796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29532 ÷ 216
    29532 ÷ 65536     		x = 0.45062255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40796 ÷ 216
    40796 ÷ 65536     		y = 0.62249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45062255859375 × 2 - 1) × π
    -0.0987548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31024761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.2449951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.769674860299622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31024761} λ = -0.31024761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769674860299622))-π/2
    2×atan(0.463163636718087)-π/2
    2×0.433746725380491-π/2
    0.867493450760983-1.57079632675     		φ = -0.70330288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31024761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.775879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70330288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.296287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29532 KachelY 40796 -0.31024761 -0.70330288 -17.775879 -40.296287
    Oben rechts KachelX + 1 29533 KachelY 40796 -0.31015174 -0.70330288 -17.770386 -40.296287
    Unten links KachelX 29532 KachelY + 1 40797 -0.31024761 -0.70337600 -17.775879 -40.300476
    Unten rechts KachelX + 1 29533 KachelY + 1 40797 -0.31015174 -0.70337600 -17.770386 -40.300476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70330288--0.70337600) × R
    7.31200000000376e-05 × 6371000     		dl = 465.84752000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70330288--0.70337600) × R
    7.31200000000376e-05 × 6371000     		dr = 465.84752000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31024761--0.31015174) × cos(-0.70330288) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.762710245604166 × 6371000     		do = 465.854090068711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31024761--0.31015174) × cos(-0.70337600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.762662953910836 × 6371000     		du = 465.825204880802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70330288)-sin(-0.70337600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762710245604166-0.762662953910836)×R²
    abs(-0.31015174--0.31024761)×4.7291693330842e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7291693330842e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7291693330842e-05×40589641000000     		ar = 217010.244590506m²