Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29532 / 22619
↖ ↑ ↗
← N 48.592959°
W 17.775879°		 ← 403.98 m → N 48.592959°
W 17.770386°		 →
↑
403.99 m
↓
↑
403.99 m
↓
N 48.589326°
W 17.775879°		 ← 404.01 m →
163 207 m²		 N 48.589326°
W 17.770386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450630187988281 y=0.345146179199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450630187988281 × 216)
    floor (0.450630187988281 × 65536)
    floor (29532.5)     		tx = 29532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345146179199219 × 216)
    floor (0.345146179199219 × 65536)
    floor (22619.5)     		ty = 22619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29532 / 22619 ti = "16/29532/22619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29532/22619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29532 ÷ 216
    29532 ÷ 65536     		x = 0.45062255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22619 ÷ 216
    22619 ÷ 65536     		y = 0.345138549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45062255859375 × 2 - 1) × π
    -0.0987548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31024761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345138549804688 × 2 - 1) × π
    0.309722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.9730231884879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31024761} λ = -0.31024761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.9730231884879))-π/2
    2×atan(2.64593152980184)-π/2
    2×1.20945172888775-π/2
    2.41890345777551-1.57079632675     		φ = 0.84810713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31024761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.775879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84810713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.592959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29532 KachelY 22619 -0.31024761 0.84810713 -17.775879 48.592959
    Oben rechts KachelX + 1 29533 KachelY 22619 -0.31015174 0.84810713 -17.770386 48.592959
    Unten links KachelX 29532 KachelY + 1 22620 -0.31024761 0.84804372 -17.775879 48.589326
    Unten rechts KachelX + 1 29533 KachelY + 1 22620 -0.31015174 0.84804372 -17.770386 48.589326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84810713-0.84804372) × R
    6.3410000000097e-05 × 6371000     		dl = 403.985110000618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84810713-0.84804372) × R
    6.3410000000097e-05 × 6371000     		dr = 403.985110000618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31024761--0.31015174) × cos(0.84810713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661404038831045 × 6371000     		do = 403.977497946598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31024761--0.31015174) × cos(0.84804372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.661451596890788 × 6371000     		du = 404.006545827855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84810713)-sin(0.84804372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661404038831045-0.661451596890788)×R²
    abs(-0.31015174--0.31024761)×4.75580597435465e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75580597435465e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75580597435465e-05×40589641000000     		ar = 163206.761456042m²