Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29531 / 40733
↖ ↑ ↗
← S 40.031821°
W 17.781372°		 ← 467.72 m → S 40.031821°
W 17.775879°		 →
↑
467.63 m
↓
↑
467.63 m
↓
S 40.036026°
W 17.781372°		 ← 467.69 m →
218 714 m²		 S 40.036026°
W 17.775879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450614929199219 y=0.621543884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450614929199219 × 216)
    floor (0.450614929199219 × 65536)
    floor (29531.5)     		tx = 29531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621543884277344 × 216)
    floor (0.621543884277344 × 65536)
    floor (40733.5)     		ty = 40733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29531 / 40733 ti = "16/29531/40733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29531/40733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29531 ÷ 216
    29531 ÷ 65536     		x = 0.450607299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40733 ÷ 216
    40733 ÷ 65536     		y = 0.621536254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450607299804688 × 2 - 1) × π
    -0.098785400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31034349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621536254882812 × 2 - 1) × π
    -0.243072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.763634810947495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31034349} λ = -0.31034349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763634810947495))-π/2
    2×atan(0.465969633591033)-π/2
    2×0.436054625770572-π/2
    0.872109251541145-1.57079632675     		φ = -0.69868708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31034349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.781372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69868708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.031821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29531 KachelY 40733 -0.31034349 -0.69868708 -17.781372 -40.031821
    Oben rechts KachelX + 1 29532 KachelY 40733 -0.31024761 -0.69868708 -17.775879 -40.031821
    Unten links KachelX 29531 KachelY + 1 40734 -0.31034349 -0.69876048 -17.781372 -40.036026
    Unten rechts KachelX + 1 29532 KachelY + 1 40734 -0.31024761 -0.69876048 -17.775879 -40.036026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69868708--0.69876048) × R
    7.34000000000012e-05 × 6371000     		dl = 467.631400000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69868708--0.69876048) × R
    7.34000000000012e-05 × 6371000     		dr = 467.631400000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31034349--0.31024761) × cos(-0.69868708) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.765687334125743 × 6371000     		do = 467.721241267929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31034349--0.31024761) × cos(-0.69876048) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.765640120232245 × 6371000     		du = 467.692400591209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69868708)-sin(-0.69876048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765687334125743-0.765640120232245)×R²
    abs(-0.31024761--0.31034349)×4.72138934980437e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72138934980437e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72138934980437e-05×40589641000000     		ar = 218714.39555908m²