Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29530 / 29926
↖ ↑ ↗
← N 69.436340°
W 98.893433°		 ← 107.28 m → N 69.436340°
W 98.890686°		 →
↑
107.22 m
↓
↑
107.22 m
↓
N 69.435376°
W 98.893433°		 ← 107.28 m →
11 503 m²		 N 69.435376°
W 98.890686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225299835205078 y=0.228321075439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225299835205078 × 217)
    floor (0.225299835205078 × 131072)
    floor (29530.5)     		tx = 29530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228321075439453 × 217)
    floor (0.228321075439453 × 131072)
    floor (29926.5)     		ty = 29926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29530 / 29926 ti = "17/29530/29926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29530/29926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29530 ÷ 217
    29530 ÷ 131072     		x = 0.225296020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29926 ÷ 217
    29926 ÷ 131072     		y = 0.228317260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225296020507812 × 2 - 1) × π
    -0.549407958984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.72601601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228317260742188 × 2 - 1) × π
    0.543365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7070329954702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72601601} λ = -1.72601601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7070329954702))-π/2
    2×atan(5.51258133586855)-π/2
    2×1.39134454020893-π/2
    2.78268908041786-1.57079632675     		φ = 1.21189275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72601601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.893433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21189275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.436340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29530 KachelY 29926 -1.72601601 1.21189275 -98.893433 69.436340
    Oben rechts KachelX + 1 29531 KachelY 29926 -1.72596807 1.21189275 -98.890686 69.436340
    Unten links KachelX 29530 KachelY + 1 29927 -1.72601601 1.21187592 -98.893433 69.435376
    Unten rechts KachelX + 1 29531 KachelY + 1 29927 -1.72596807 1.21187592 -98.890686 69.435376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21189275-1.21187592) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dl = 107.223930000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21189275-1.21187592) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dr = 107.223930000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72601601--1.72596807) × cos(1.21189275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351247882743492 × 6371000     		do = 107.280144510294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72601601--1.72596807) × cos(1.21187592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351263640328266 × 6371000     		du = 107.284957282284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21189275)-sin(1.21187592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351247882743492-0.351263640328266)×R²
    abs(-1.72596807--1.72601601)×1.57575847745117e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57575847745117e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57575847745117e-05×40589641000000     		ar = 11503.2567278923m²