Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29529 / 23009
↖ ↑ ↗
← N 47.156105°
W 17.792359°		 ← 415.38 m → N 47.156105°
W 17.786865°		 →
↑
415.39 m
↓
↑
415.39 m
↓
N 47.152369°
W 17.792359°		 ← 415.41 m →
172 551 m²		 N 47.152369°
W 17.786865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450584411621094 y=0.351097106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450584411621094 × 216)
    floor (0.450584411621094 × 65536)
    floor (29529.5)     		tx = 29529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351097106933594 × 216)
    floor (0.351097106933594 × 65536)
    floor (23009.5)     		ty = 23009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29529 / 23009 ti = "16/29529/23009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29529/23009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29529 ÷ 216
    29529 ÷ 65536     		x = 0.450576782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23009 ÷ 216
    23009 ÷ 65536     		y = 0.351089477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450576782226562 × 2 - 1) × π
    -0.098846435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31053524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351089477539062 × 2 - 1) × π
    0.297821044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.935632406784256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31053524} λ = -0.31053524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935632406784256))-π/2
    2×atan(2.54882484228218)-π/2
    2×1.19691280875832-π/2
    2.39382561751665-1.57079632675     		φ = 0.82302929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31053524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.792359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82302929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.156105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29529 KachelY 23009 -0.31053524 0.82302929 -17.792359 47.156105
    Oben rechts KachelX + 1 29530 KachelY 23009 -0.31043936 0.82302929 -17.786865 47.156105
    Unten links KachelX 29529 KachelY + 1 23010 -0.31053524 0.82296409 -17.792359 47.152369
    Unten rechts KachelX + 1 29530 KachelY + 1 23010 -0.31043936 0.82296409 -17.786865 47.152369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82302929-0.82296409) × R
    6.51999999999875e-05 × 6371000     		dl = 415.38919999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82302929-0.82296409) × R
    6.51999999999875e-05 × 6371000     		dr = 415.38919999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31053524--0.31043936) × cos(0.82302929) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.680003227692091 × 6371000     		do = 415.380978040459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31053524--0.31043936) × cos(0.82296409) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.680051031481173 × 6371000     		du = 415.410179055769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82302929)-sin(0.82296409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680003227692091-0.680051031481173)×R²
    abs(-0.31043936--0.31053524)×4.78037890818683e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78037890818683e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78037890818683e-05×40589641000000     		ar = 172550.837117548m²