Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29529 / 22487
↖ ↑ ↗
← N 49.070267°
W 17.792359°		 ← 400.19 m → N 49.070267°
W 17.786865°		 →
↑
400.16 m
↓
↑
400.16 m
↓
N 49.066669°
W 17.792359°		 ← 400.22 m →
160 146 m²		 N 49.066669°
W 17.786865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450584411621094 y=0.343132019042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450584411621094 × 216)
    floor (0.450584411621094 × 65536)
    floor (29529.5)     		tx = 29529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343132019042969 × 216)
    floor (0.343132019042969 × 65536)
    floor (22487.5)     		ty = 22487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29529 / 22487 ti = "16/29529/22487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29529/22487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29529 ÷ 216
    29529 ÷ 65536     		x = 0.450576782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22487 ÷ 216
    22487 ÷ 65536     		y = 0.343124389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450576782226562 × 2 - 1) × π
    -0.098846435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31053524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343124389648438 × 2 - 1) × π
    0.313751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.985678529987595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31053524} λ = -0.31053524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985678529987595))-π/2
    2×atan(2.67962947666145)-π/2
    2×1.2136170278123-π/2
    2.4272340556246-1.57079632675     		φ = 0.85643773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31053524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.792359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85643773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.070267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29529 KachelY 22487 -0.31053524 0.85643773 -17.792359 49.070267
    Oben rechts KachelX + 1 29530 KachelY 22487 -0.31043936 0.85643773 -17.786865 49.070267
    Unten links KachelX 29529 KachelY + 1 22488 -0.31053524 0.85637492 -17.792359 49.066669
    Unten rechts KachelX + 1 29530 KachelY + 1 22488 -0.31043936 0.85637492 -17.786865 49.066669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85643773-0.85637492) × R
    6.28099999999687e-05 × 6371000     		dl = 400.162509999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85643773-0.85637492) × R
    6.28099999999687e-05 × 6371000     		dr = 400.162509999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31053524--0.31043936) × cos(0.85643773) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.655132962645417 × 6371000     		do = 400.188939828707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31053524--0.31043936) × cos(0.85637492) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.655180415162382 × 6371000     		du = 400.217926268925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85643773)-sin(0.85637492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655132962645417-0.655180415162382)×R²
    abs(-0.31043936--0.31053524)×4.74525169646967e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74525169646967e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74525169646967e-05×40589641000000     		ar = 160146.41033235m²