Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29528 / 15447
↖ ↑ ↗
← N 68.481941°
W 17.797852°		 ← 224.03 m → N 68.481941°
W 17.792359°		 →
↑
224.07 m
↓
↑
224.07 m
↓
N 68.479925°
W 17.797852°		 ← 224.05 m →
50 201 m²		 N 68.479925°
W 17.792359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450569152832031 y=0.235710144042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450569152832031 × 216)
    floor (0.450569152832031 × 65536)
    floor (29528.5)     		tx = 29528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235710144042969 × 216)
    floor (0.235710144042969 × 65536)
    floor (15447.5)     		ty = 15447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29528 / 15447 ti = "16/29528/15447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29528/15447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29528 ÷ 216
    29528 ÷ 65536     		x = 0.4505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15447 ÷ 216
    15447 ÷ 65536     		y = 0.235702514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31063111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235702514648438 × 2 - 1) × π
    0.528594970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.66063007663799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31063111} λ = -0.31063111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66063007663799))-π/2
    2×atan(5.26262565752536)-π/2
    2×1.38301583415756-π/2
    2.76603166831512-1.57079632675     		φ = 1.19523534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31063111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.797852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19523534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.481941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29528 KachelY 15447 -0.31063111 1.19523534 -17.797852 68.481941
    Oben rechts KachelX + 1 29529 KachelY 15447 -0.31053524 1.19523534 -17.792359 68.481941
    Unten links KachelX 29528 KachelY + 1 15448 -0.31063111 1.19520017 -17.797852 68.479925
    Unten rechts KachelX + 1 29529 KachelY + 1 15448 -0.31053524 1.19520017 -17.792359 68.479925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19523534-1.19520017) × R
    3.51700000000843e-05 × 6371000     		dl = 224.068070000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19523534-1.19520017) × R
    3.51700000000843e-05 × 6371000     		dr = 224.068070000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31063111--0.31053524) × cos(1.19523534) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366794473912998 × 6371000     		do = 224.033578769638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31063111--0.31053524) × cos(1.19520017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366827192407533 × 6371000     		du = 224.053562825953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19523534)-sin(1.19520017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366794473912998-0.366827192407533)×R²
    abs(-0.31053524--0.31063111)×3.27184945350667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27184945350667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27184945350667e-05×40589641000000     		ar = 50201.0105100811m²