Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29528 / 13521
↖ ↑ ↗
← N 72.045147°
W 17.797852°		 ← 188.29 m → N 72.045147°
W 17.792359°		 →
↑
188.33 m
↓
↑
188.33 m
↓
N 72.043453°
W 17.797852°		 ← 188.30 m →
35 461 m²		 N 72.043453°
W 17.792359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450569152832031 y=0.206321716308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450569152832031 × 216)
    floor (0.450569152832031 × 65536)
    floor (29528.5)     		tx = 29528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206321716308594 × 216)
    floor (0.206321716308594 × 65536)
    floor (13521.5)     		ty = 13521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29528 / 13521 ti = "16/29528/13521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29528/13521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29528 ÷ 216
    29528 ÷ 65536     		x = 0.4505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13521 ÷ 216
    13521 ÷ 65536     		y = 0.206314086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31063111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206314086914062 × 2 - 1) × π
    0.587371826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84528301397444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31063111} λ = -0.31063111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84528301397444))-π/2
    2×atan(6.32989098452894)-π/2
    2×1.4141106725766-π/2
    2.8282213451532-1.57079632675     		φ = 1.25742502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31063111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.797852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25742502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.045147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29528 KachelY 13521 -0.31063111 1.25742502 -17.797852 72.045147
    Oben rechts KachelX + 1 29529 KachelY 13521 -0.31053524 1.25742502 -17.792359 72.045147
    Unten links KachelX 29528 KachelY + 1 13522 -0.31063111 1.25739546 -17.797852 72.043453
    Unten rechts KachelX + 1 29529 KachelY + 1 13522 -0.31053524 1.25739546 -17.792359 72.043453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25742502-1.25739546) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dl = 188.326759999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25742502-1.25739546) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dr = 188.326759999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31063111--0.31053524) × cos(1.25742502) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.308267505394523 × 6371000     		do = 188.28602218338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31063111--0.31053524) × cos(1.25739546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.308295625679373 × 6371000     		du = 188.303197709455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25742502)-sin(1.25739546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308267505394523-0.308295625679373)×R²
    abs(-0.31053524--0.31063111)×2.81202848491646e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.81202848491646e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.81202848491646e-05×40589641000000     		ar = 35460.9138196071m²