Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29527 / 23010
↖ ↑ ↗
← N 47.152369°
W 17.803345°		 ← 415.37 m → N 47.152369°
W 17.797852°		 →
↑
415.39 m
↓
↑
415.39 m
↓
N 47.148633°
W 17.803345°		 ← 415.40 m →
172 545 m²		 N 47.148633°
W 17.797852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450553894042969 y=0.351112365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450553894042969 × 216)
    floor (0.450553894042969 × 65536)
    floor (29527.5)     		tx = 29527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351112365722656 × 216)
    floor (0.351112365722656 × 65536)
    floor (23010.5)     		ty = 23010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29527 / 23010 ti = "16/29527/23010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29527/23010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29527 ÷ 216
    29527 ÷ 65536     		x = 0.450546264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23010 ÷ 216
    23010 ÷ 65536     		y = 0.351104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450546264648438 × 2 - 1) × π
    -0.098907470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31072698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351104736328125 × 2 - 1) × π
    0.29779052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.935536532985016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31072698} λ = -0.31072698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935536532985016))-π/2
    2×atan(2.54858048847471)-π/2
    2×1.19688021036616-π/2
    2.39376042073232-1.57079632675     		φ = 0.82296409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31072698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.803345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82296409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.152369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29527 KachelY 23010 -0.31072698 0.82296409 -17.803345 47.152369
    Oben rechts KachelX + 1 29528 KachelY 23010 -0.31063111 0.82296409 -17.797852 47.152369
    Unten links KachelX 29527 KachelY + 1 23011 -0.31072698 0.82289889 -17.803345 47.148633
    Unten rechts KachelX + 1 29528 KachelY + 1 23011 -0.31063111 0.82289889 -17.797852 47.148633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82296409-0.82289889) × R
    6.51999999999875e-05 × 6371000     		dl = 415.38919999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82296409-0.82289889) × R
    6.51999999999875e-05 × 6371000     		dr = 415.38919999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31072698--0.31063111) × cos(0.82296409) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.680051031481173 × 6371000     		do = 415.366853004576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31072698--0.31063111) × cos(0.82289889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68009883237933 × 6371000     		du = 415.396049208566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82296409)-sin(0.82289889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680051031481173-0.68009883237933)×R²
    abs(-0.31063111--0.31072698)×4.78008981578126e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78008981578126e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78008981578126e-05×40589641000000     		ar = 172544.968731227m²