Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29526 / 19286
↖ ↑ ↗
← N 77.566956°
W 98.904419°		 ← 65.76 m → N 77.566956°
W 98.901672°		 →
↑
65.75 m
↓
↑
65.75 m
↓
N 77.566365°
W 98.904419°		 ← 65.76 m →
4 324 m²		 N 77.566365°
W 98.901672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225269317626953 y=0.147144317626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225269317626953 × 217)
    floor (0.225269317626953 × 131072)
    floor (29526.5)     		tx = 29526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147144317626953 × 217)
    floor (0.147144317626953 × 131072)
    floor (19286.5)     		ty = 19286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29526 / 19286 ti = "17/29526/19286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29526/19286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29526 ÷ 217
    29526 ÷ 131072     		x = 0.225265502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19286 ÷ 217
    19286 ÷ 131072     		y = 0.147140502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225265502929688 × 2 - 1) × π
    -0.549468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.72620776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147140502929688 × 2 - 1) × π
    0.705718994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2170816074276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72620776} λ = -1.72620776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2170816074276))-π/2
    2×atan(9.18049943124502)-π/2
    2×1.46229755394636-π/2
    2.92459510789272-1.57079632675     		φ = 1.35379878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72620776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.904419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35379878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.566956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29526 KachelY 19286 -1.72620776 1.35379878 -98.904419 77.566956
    Oben rechts KachelX + 1 29527 KachelY 19286 -1.72615982 1.35379878 -98.901672 77.566956
    Unten links KachelX 29526 KachelY + 1 19287 -1.72620776 1.35378846 -98.904419 77.566365
    Unten rechts KachelX + 1 29527 KachelY + 1 19287 -1.72615982 1.35378846 -98.901672 77.566365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35379878-1.35378846) × R
    1.03199999998971e-05 × 6371000     		dl = 65.7487199993443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35379878-1.35378846) × R
    1.03199999998971e-05 × 6371000     		dr = 65.7487199993443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72620776--1.72615982) × cos(1.35379878) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.215298557419285 × 6371000     		do = 65.7577212209792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72620776--1.72615982) × cos(1.35378846) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.215308635386006 × 6371000     		du = 65.7607992914227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35379878)-sin(1.35378846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215298557419285-0.215308635386006)×R²
    abs(-1.72615982--1.72620776)×1.0077966721006e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.0077966721006e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.0077966721006e-05×40589641000000     		ar = 4323.587189908m²