Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29525 / 13528
↖ ↑ ↗
← N 72.033289°
W 17.814331°		 ← 188.41 m → N 72.033289°
W 17.808838°		 →
↑
188.45 m
↓
↑
188.45 m
↓
N 72.031595°
W 17.814331°		 ← 188.42 m →
35 508 m²		 N 72.031595°
W 17.808838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450523376464844 y=0.206428527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450523376464844 × 216)
    floor (0.450523376464844 × 65536)
    floor (29525.5)     		tx = 29525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206428527832031 × 216)
    floor (0.206428527832031 × 65536)
    floor (13528.5)     		ty = 13528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29525 / 13528 ti = "16/29525/13528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29525/13528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29525 ÷ 216
    29525 ÷ 65536     		x = 0.450515747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13528 ÷ 216
    13528 ÷ 65536     		y = 0.2064208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450515747070312 × 2 - 1) × π
    -0.098968505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31091873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2064208984375 × 2 - 1) × π
    0.587158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84461189737976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31091873} λ = -0.31091873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84461189737976))-π/2
    2×atan(6.32564431481136)-π/2
    2×1.41400719783025-π/2
    2.82801439566049-1.57079632675     		φ = 1.25721807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31091873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.814331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25721807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.033289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29525 KachelY 13528 -0.31091873 1.25721807 -17.814331 72.033289
    Oben rechts KachelX + 1 29526 KachelY 13528 -0.31082286 1.25721807 -17.808838 72.033289
    Unten links KachelX 29525 KachelY + 1 13529 -0.31091873 1.25718849 -17.814331 72.031595
    Unten rechts KachelX + 1 29526 KachelY + 1 13529 -0.31082286 1.25718849 -17.808838 72.031595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25721807-1.25718849) × R
    2.95799999998625e-05 × 6371000     		dl = 188.454179999124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25721807-1.25718849) × R
    2.95799999998625e-05 × 6371000     		dr = 188.454179999124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31091873--0.31082286) × cos(1.25721807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.308464370267563 × 6371000     		do = 188.406264840175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31091873--0.31082286) × cos(1.25718849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.308492507690451 × 6371000     		du = 188.423450833954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25721807)-sin(1.25718849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308464370267563-0.308492507690451)×R²
    abs(-0.31082286--0.31091873)×2.81374228878195e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.81374228878195e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.81374228878195e-05×40589641000000     		ar = 35507.5675358m²