Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29524 / 21220
↖ ↑ ↗
← N 76.370031°
W 98.909912°		 ← 71.97 m → N 76.370031°
W 98.907165°		 →
↑
71.99 m
↓
↑
71.99 m
↓
N 76.369384°
W 98.909912°		 ← 71.98 m →
5 182 m²		 N 76.369384°
W 98.907165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225254058837891 y=0.161899566650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225254058837891 × 217)
    floor (0.225254058837891 × 131072)
    floor (29524.5)     		tx = 29524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161899566650391 × 217)
    floor (0.161899566650391 × 131072)
    floor (21220.5)     		ty = 21220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29524 / 21220 ti = "17/29524/21220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29524/21220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29524 ÷ 217
    29524 ÷ 131072     		x = 0.225250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21220 ÷ 217
    21220 ÷ 131072     		y = 0.161895751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225250244140625 × 2 - 1) × π
    -0.54949951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72630363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161895751953125 × 2 - 1) × π
    0.67620849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12437164356241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72630363} λ = -1.72630363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12437164356241))-π/2
    2×atan(8.36763797668629)-π/2
    2×1.45185240695742-π/2
    2.90370481391483-1.57079632675     		φ = 1.33290849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72630363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.909912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33290849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.370031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29524 KachelY 21220 -1.72630363 1.33290849 -98.909912 76.370031
    Oben rechts KachelX + 1 29525 KachelY 21220 -1.72625569 1.33290849 -98.907165 76.370031
    Unten links KachelX 29524 KachelY + 1 21221 -1.72630363 1.33289719 -98.909912 76.369384
    Unten rechts KachelX + 1 29525 KachelY + 1 21221 -1.72625569 1.33289719 -98.907165 76.369384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33290849-1.33289719) × R
    1.12999999999364e-05 × 6371000     		dl = 71.9922999995946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33290849-1.33289719) × R
    1.12999999999364e-05 × 6371000     		dr = 71.9922999995946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72630363--1.72625569) × cos(1.33290849) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.235650473399143 × 6371000     		do = 71.9737202195698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72630363--1.72625569) × cos(1.33289719) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.23566145515208 × 6371000     		du = 71.977074329587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33290849)-sin(1.33289719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235650473399143-0.23566145515208)×R²
    abs(-1.72625569--1.72630363)×1.09817529368728e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.09817529368728e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.09817529368728e-05×40589641000000     		ar = 5181.67439309749m²