Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29523 / 43240
↖ ↑ ↗
← S 49.752880°
W 17.825317°		 ← 394.66 m → S 49.752880°
W 17.819824°		 →
↑
394.62 m
↓
↑
394.62 m
↓
S 49.756429°
W 17.825317°		 ← 394.63 m →
155 736 m²		 S 49.756429°
W 17.819824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450492858886719 y=0.659797668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450492858886719 × 216)
    floor (0.450492858886719 × 65536)
    floor (29523.5)     		tx = 29523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659797668457031 × 216)
    floor (0.659797668457031 × 65536)
    floor (43240.5)     		ty = 43240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29523 / 43240 ti = "16/29523/43240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29523/43240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29523 ÷ 216
    29523 ÷ 65536     		x = 0.450485229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43240 ÷ 216
    43240 ÷ 65536     		y = 0.6597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450485229492188 × 2 - 1) × π
    -0.099029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31111048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6597900390625 × 2 - 1) × π
    -0.319580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00399042564246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31111048} λ = -0.31111048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00399042564246))-π/2
    2×atan(0.366414370687559)-π/2
    2×0.351222379806548-π/2
    0.702444759613096-1.57079632675     		φ = -0.86835157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31111048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.825317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86835157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.752880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29523 KachelY 43240 -0.31111048 -0.86835157 -17.825317 -49.752880
    Oben rechts KachelX + 1 29524 KachelY 43240 -0.31101460 -0.86835157 -17.819824 -49.752880
    Unten links KachelX 29523 KachelY + 1 43241 -0.31111048 -0.86841351 -17.825317 -49.756429
    Unten rechts KachelX + 1 29524 KachelY + 1 43241 -0.31101460 -0.86841351 -17.819824 -49.756429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86835157--0.86841351) × R
    6.19400000000381e-05 × 6371000     		dl = 394.619740000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86835157--0.86841351) × R
    6.19400000000381e-05 × 6371000     		dr = 394.619740000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31111048--0.31101460) × cos(-0.86835157) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.64608561331874 × 6371000     		do = 394.662353102658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31111048--0.31101460) × cos(-0.86841351) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.646038335448541 × 6371000     		du = 394.633473345676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86835157)-sin(-0.86841351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64608561331874-0.646038335448541)×R²
    abs(-0.31101460--0.31111048)×4.72778701995358e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.72778701995358e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.72778701995358e-05×40589641000000     		ar = 155735.856958007m²