Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29523 / 40731
↖ ↑ ↗
← S 40.023408°
W 17.825317°		 ← 467.78 m → S 40.023408°
W 17.819824°		 →
↑
467.70 m
↓
↑
467.70 m
↓
S 40.027614°
W 17.825317°		 ← 467.75 m →
218 771 m²		 S 40.027614°
W 17.819824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450492858886719 y=0.621513366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450492858886719 × 216)
    floor (0.450492858886719 × 65536)
    floor (29523.5)     		tx = 29523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621513366699219 × 216)
    floor (0.621513366699219 × 65536)
    floor (40731.5)     		ty = 40731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29523 / 40731 ti = "16/29523/40731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29523/40731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29523 ÷ 216
    29523 ÷ 65536     		x = 0.450485229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40731 ÷ 216
    40731 ÷ 65536     		y = 0.621505737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450485229492188 × 2 - 1) × π
    -0.099029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31111048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621505737304688 × 2 - 1) × π
    -0.243011474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.763443063349014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31111048} λ = -0.31111048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763443063349014))-π/2
    2×atan(0.466058990715972)-π/2
    2×0.436128039651494-π/2
    0.872256079302989-1.57079632675     		φ = -0.69854025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31111048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.825317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69854025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.023408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29523 KachelY 40731 -0.31111048 -0.69854025 -17.825317 -40.023408
    Oben rechts KachelX + 1 29524 KachelY 40731 -0.31101460 -0.69854025 -17.819824 -40.023408
    Unten links KachelX 29523 KachelY + 1 40732 -0.31111048 -0.69861366 -17.825317 -40.027614
    Unten rechts KachelX + 1 29524 KachelY + 1 40732 -0.31101460 -0.69861366 -17.819824 -40.027614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69854025--0.69861366) × R
    7.34100000000515e-05 × 6371000     		dl = 467.695110000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69854025--0.69861366) × R
    7.34100000000515e-05 × 6371000     		dr = 467.695110000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31111048--0.31101460) × cos(-0.69854025) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.765781768829941 × 6371000     		do = 467.778926847022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31111048--0.31101460) × cos(-0.69861366) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.765734556757189 × 6371000     		du = 467.750087282508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69854025)-sin(-0.69861366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765781768829941-0.765734556757189)×R²
    abs(-0.31101460--0.31111048)×4.72120727519343e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.72120727519343e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.72120727519343e-05×40589641000000     		ar = 218771.172684123m²