Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29523 / 23004
↖ ↑ ↗
← N 47.174779°
W 17.825317°		 ← 415.23 m → N 47.174779°
W 17.819824°		 →
↑
415.26 m
↓
↑
415.26 m
↓
N 47.171044°
W 17.825317°		 ← 415.26 m →
172 437 m²		 N 47.171044°
W 17.819824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450492858886719 y=0.351020812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450492858886719 × 216)
    floor (0.450492858886719 × 65536)
    floor (29523.5)     		tx = 29523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351020812988281 × 216)
    floor (0.351020812988281 × 65536)
    floor (23004.5)     		ty = 23004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29523 / 23004 ti = "16/29523/23004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29523/23004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29523 ÷ 216
    29523 ÷ 65536     		x = 0.450485229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23004 ÷ 216
    23004 ÷ 65536     		y = 0.35101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450485229492188 × 2 - 1) × π
    -0.099029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31111048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35101318359375 × 2 - 1) × π
    0.2979736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.936111775780457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31111048} λ = -0.31111048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936111775780457))-π/2
    2×atan(2.55004696278826)-π/2
    2×1.19707576634799-π/2
    2.39415153269598-1.57079632675     		φ = 0.82335521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31111048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.825317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82335521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.174779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29523 KachelY 23004 -0.31111048 0.82335521 -17.825317 47.174779
    Oben rechts KachelX + 1 29524 KachelY 23004 -0.31101460 0.82335521 -17.819824 47.174779
    Unten links KachelX 29523 KachelY + 1 23005 -0.31111048 0.82329003 -17.825317 47.171044
    Unten rechts KachelX + 1 29524 KachelY + 1 23005 -0.31101460 0.82329003 -17.819824 47.171044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82335521-0.82329003) × R
    6.5179999999998e-05 × 6371000     		dl = 415.261779999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82335521-0.82329003) × R
    6.5179999999998e-05 × 6371000     		dr = 415.261779999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31111048--0.31101460) × cos(0.82335521) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.679764224064391 × 6371000     		do = 415.234982320993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31111048--0.31101460) × cos(0.82329003) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.679812027633771 × 6371000     		du = 415.264183202099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82335521)-sin(0.82329003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679764224064391-0.679812027633771)×R²
    abs(-0.31101460--0.31111048)×4.78035693806111e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78035693806111e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78035693806111e-05×40589641000000     		ar = 172437.280942946m²