Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29522 / 23006
↖ ↑ ↗
← N 47.167309°
W 17.830810°		 ← 415.25 m → N 47.167309°
W 17.825317°		 →
↑
415.26 m
↓
↑
415.26 m
↓
N 47.163575°
W 17.830810°		 ← 415.28 m →
172 444 m²		 N 47.163575°
W 17.825317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450477600097656 y=0.351051330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450477600097656 × 216)
    floor (0.450477600097656 × 65536)
    floor (29522.5)     		tx = 29522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351051330566406 × 216)
    floor (0.351051330566406 × 65536)
    floor (23006.5)     		ty = 23006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29522 / 23006 ti = "16/29522/23006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29522/23006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29522 ÷ 216
    29522 ÷ 65536     		x = 0.450469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23006 ÷ 216
    23006 ÷ 65536     		y = 0.351043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.09906005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31120635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351043701171875 × 2 - 1) × π
    0.29791259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.935920028181976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31120635} λ = -0.31120635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935920028181976))-π/2
    2×atan(2.5495580442831)-π/2
    2×1.19701059018627-π/2
    2.39402118037253-1.57079632675     		φ = 0.82322485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31120635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.830810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82322485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.167309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29522 KachelY 23006 -0.31120635 0.82322485 -17.830810 47.167309
    Oben rechts KachelX + 1 29523 KachelY 23006 -0.31111048 0.82322485 -17.825317 47.167309
    Unten links KachelX 29522 KachelY + 1 23007 -0.31120635 0.82315967 -17.830810 47.163575
    Unten rechts KachelX + 1 29523 KachelY + 1 23007 -0.31111048 0.82315967 -17.825317 47.163575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82322485-0.82315967) × R
    6.5179999999998e-05 × 6371000     		dl = 415.261779999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82322485-0.82315967) × R
    6.5179999999998e-05 × 6371000     		dr = 415.261779999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31120635--0.31111048) × cos(0.82322485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679859828315016 × 6371000     		do = 415.250068449103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31120635--0.31111048) × cos(0.82315967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679907626107923 × 6371000     		du = 415.279262756443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82322485)-sin(0.82315967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679859828315016-0.679907626107923)×R²
    abs(-0.31111048--0.31120635)×4.77977929065343e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77977929065343e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77977929065343e-05×40589641000000     		ar = 172443.544270479m²