Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29522 / 23005
↖ ↑ ↗
← N 47.171044°
W 17.830810°		 ← 415.22 m → N 47.171044°
W 17.825317°		 →
↑
415.26 m
↓
↑
415.26 m
↓
N 47.167309°
W 17.830810°		 ← 415.25 m →
172 431 m²		 N 47.167309°
W 17.825317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450477600097656 y=0.351036071777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450477600097656 × 216)
    floor (0.450477600097656 × 65536)
    floor (29522.5)     		tx = 29522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351036071777344 × 216)
    floor (0.351036071777344 × 65536)
    floor (23005.5)     		ty = 23005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29522 / 23005 ti = "16/29522/23005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29522/23005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29522 ÷ 216
    29522 ÷ 65536     		x = 0.450469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23005 ÷ 216
    23005 ÷ 65536     		y = 0.351028442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.09906005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31120635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351028442382812 × 2 - 1) × π
    0.297943115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.936015901981216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31120635} λ = -0.31120635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936015901981216))-π/2
    2×atan(2.54980249181706)-π/2
    2×1.1970431794128-π/2
    2.39408635882561-1.57079632675     		φ = 0.82329003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31120635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.830810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82329003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.171044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29522 KachelY 23005 -0.31120635 0.82329003 -17.830810 47.171044
    Oben rechts KachelX + 1 29523 KachelY 23005 -0.31111048 0.82329003 -17.825317 47.171044
    Unten links KachelX 29522 KachelY + 1 23006 -0.31120635 0.82322485 -17.830810 47.167309
    Unten rechts KachelX + 1 29523 KachelY + 1 23006 -0.31111048 0.82322485 -17.825317 47.167309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82329003-0.82322485) × R
    6.5179999999998e-05 × 6371000     		dl = 415.261779999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82329003-0.82322485) × R
    6.5179999999998e-05 × 6371000     		dr = 415.261779999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31120635--0.31111048) × cos(0.82329003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679812027633771 × 6371000     		do = 415.2208723776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31120635--0.31111048) × cos(0.82322485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679859828315016 × 6371000     		du = 415.250068449103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82329003)-sin(0.82322485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679812027633771-0.679859828315016)×R²
    abs(-0.31111048--0.31120635)×4.78006812451026e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78006812451026e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78006812451026e-05×40589641000000     		ar = 172431.420623773m²