Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29520 / 19280
↖ ↑ ↗
← N 77.570504°
W 98.920899°		 ← 65.74 m → N 77.570504°
W 98.918152°		 →
↑
65.75 m
↓
↑
65.75 m
↓
N 77.569913°
W 98.920899°		 ← 65.74 m →
4 322 m²		 N 77.569913°
W 98.918152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225223541259766 y=0.147098541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225223541259766 × 217)
    floor (0.225223541259766 × 131072)
    floor (29520.5)     		tx = 29520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147098541259766 × 217)
    floor (0.147098541259766 × 131072)
    floor (19280.5)     		ty = 19280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29520 / 19280 ti = "17/29520/19280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29520/19280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29520 ÷ 217
    29520 ÷ 131072     		x = 0.2252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19280 ÷ 217
    19280 ÷ 131072     		y = 0.1470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.549560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72649538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1470947265625 × 2 - 1) × π
    0.705810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21736922882532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72649538} λ = -1.72649538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21736922882532))-π/2
    2×atan(9.18314031909293)-π/2
    2×1.46232851183432-π/2
    2.92465702366865-1.57079632675     		φ = 1.35386070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72649538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.920899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35386070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.570504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29520 KachelY 19280 -1.72649538 1.35386070 -98.920899 77.570504
    Oben rechts KachelX + 1 29521 KachelY 19280 -1.72644744 1.35386070 -98.918152 77.570504
    Unten links KachelX 29520 KachelY + 1 19281 -1.72649538 1.35385038 -98.920899 77.569913
    Unten rechts KachelX + 1 29521 KachelY + 1 19281 -1.72644744 1.35385038 -98.918152 77.569913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35386070-1.35385038) × R
    1.03200000001191e-05 × 6371000     		dl = 65.7487200007589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35386070-1.35385038) × R
    1.03200000001191e-05 × 6371000     		dr = 65.7487200007589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72649538--1.72644744) × cos(1.35386070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21523808913747 × 6371000     		do = 65.7392526509547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72649538--1.72644744) × cos(1.35385038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.215248167241754 × 6371000     		du = 65.7423307634134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35386070)-sin(1.35385038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21523808913747-0.215248167241754)×R²
    abs(-1.72644744--1.72649538)×1.00781042840226e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00781042840226e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00781042840226e-05×40589641000000     		ar = 4322.37290649128m²