Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29519 / 23001
↖ ↑ ↗
← N 47.185979°
W 17.847290°		 ← 415.10 m → N 47.185979°
W 17.841797°		 →
↑
415.13 m
↓
↑
415.13 m
↓
N 47.182246°
W 17.847290°		 ← 415.13 m →
172 330 m²		 N 47.182246°
W 17.841797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450431823730469 y=0.350975036621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450431823730469 × 216)
    floor (0.450431823730469 × 65536)
    floor (29519.5)     		tx = 29519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350975036621094 × 216)
    floor (0.350975036621094 × 65536)
    floor (23001.5)     		ty = 23001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29519 / 23001 ti = "16/29519/23001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29519/23001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29519 ÷ 216
    29519 ÷ 65536     		x = 0.450424194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23001 ÷ 216
    23001 ÷ 65536     		y = 0.350967407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450424194335938 × 2 - 1) × π
    -0.099151611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31149397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350967407226562 × 2 - 1) × π
    0.298065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.936399397178177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31149397} λ = -0.31149397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936399397178177))-π/2
    2×atan(2.55078051634774)-π/2
    2×1.19717351340567-π/2
    2.39434702681134-1.57079632675     		φ = 0.82355070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31149397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.847290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82355070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.185979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29519 KachelY 23001 -0.31149397 0.82355070 -17.847290 47.185979
    Oben rechts KachelX + 1 29520 KachelY 23001 -0.31139810 0.82355070 -17.841797 47.185979
    Unten links KachelX 29519 KachelY + 1 23002 -0.31149397 0.82348554 -17.847290 47.182246
    Unten rechts KachelX + 1 29520 KachelY + 1 23002 -0.31139810 0.82348554 -17.841797 47.182246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82355070-0.82348554) × R
    6.51600000000085e-05 × 6371000     		dl = 415.134360000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82355070-0.82348554) × R
    6.51600000000085e-05 × 6371000     		dr = 415.134360000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31149397--0.31139810) × cos(0.82355070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679620832707647 × 6371000     		do = 415.104092855038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31149397--0.31139810) × cos(0.82348554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679668630267615 × 6371000     		du = 415.133287020102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82355070)-sin(0.82348554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679620832707647-0.679668630267615)×R²
    abs(-0.31139810--0.31149397)×4.77975599676439e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77975599676439e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77975599676439e-05×40589641000000     		ar = 172330.031732017m²