Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29517 / 22741
↖ ↑ ↗
← N 48.147763°
W 17.858276°		 ← 407.52 m → N 48.147763°
W 17.852783°		 →
↑
407.55 m
↓
↑
407.55 m
↓
N 48.144098°
W 17.858276°		 ← 407.55 m →
166 094 m²		 N 48.144098°
W 17.852783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450401306152344 y=0.347007751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450401306152344 × 216)
    floor (0.450401306152344 × 65536)
    floor (29517.5)     		tx = 29517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347007751464844 × 216)
    floor (0.347007751464844 × 65536)
    floor (22741.5)     		ty = 22741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29517 / 22741 ti = "16/29517/22741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29517/22741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29517 ÷ 216
    29517 ÷ 65536     		x = 0.450393676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22741 ÷ 216
    22741 ÷ 65536     		y = 0.347000122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450393676757812 × 2 - 1) × π
    -0.099212646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31168572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347000122070312 × 2 - 1) × π
    0.305999755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.961326584980606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31168572} λ = -0.31168572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961326584980606))-π/2
    2×atan(2.61516340982311)-π/2
    2×1.20556666078132-π/2
    2.41113332156263-1.57079632675     		φ = 0.84033699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31168572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.858276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84033699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.147763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29517 KachelY 22741 -0.31168572 0.84033699 -17.858276 48.147763
    Oben rechts KachelX + 1 29518 KachelY 22741 -0.31158985 0.84033699 -17.852783 48.147763
    Unten links KachelX 29517 KachelY + 1 22742 -0.31168572 0.84027302 -17.858276 48.144098
    Unten rechts KachelX + 1 29518 KachelY + 1 22742 -0.31158985 0.84027302 -17.852783 48.144098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84033699-0.84027302) × R
    6.39699999999133e-05 × 6371000     		dl = 407.552869999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84033699-0.84027302) × R
    6.39699999999133e-05 × 6371000     		dr = 407.552869999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31168572--0.31158985) × cos(0.84033699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667211850661765 × 6371000     		do = 407.524838383264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31168572--0.31158985) × cos(0.84027302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667259498502907 × 6371000     		du = 407.5539411019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84033699)-sin(0.84027302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667211850661765-0.667259498502907)×R²
    abs(-0.31158985--0.31168572)×4.76478411410852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76478411410852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76478411410852e-05×40589641000000     		ar = 166093.847984107m²