Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29516 / 21604
↖ ↑ ↗
← N 76.119258°
W 98.931885°		 ← 73.26 m → N 76.119258°
W 98.929138°		 →
↑
73.27 m
↓
↑
73.27 m
↓
N 76.118599°
W 98.931885°		 ← 73.26 m →
5 367 m²		 N 76.118599°
W 98.929138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225193023681641 y=0.164829254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225193023681641 × 217)
    floor (0.225193023681641 × 131072)
    floor (29516.5)     		tx = 29516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164829254150391 × 217)
    floor (0.164829254150391 × 131072)
    floor (21604.5)     		ty = 21604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29516 / 21604 ti = "17/29516/21604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29516/21604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29516 ÷ 217
    29516 ÷ 131072     		x = 0.225189208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21604 ÷ 217
    21604 ÷ 131072     		y = 0.164825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225189208984375 × 2 - 1) × π
    -0.54962158203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.72668712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164825439453125 × 2 - 1) × π
    0.67034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10596387410831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72668712} λ = -1.72668712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10596387410831))-π/2
    2×atan(8.21501743733421)-π/2
    2×1.44966399776697-π/2
    2.89932799553393-1.57079632675     		φ = 1.32853167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72668712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.931885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32853167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.119258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29516 KachelY 21604 -1.72668712 1.32853167 -98.931885 76.119258
    Oben rechts KachelX + 1 29517 KachelY 21604 -1.72663919 1.32853167 -98.929138 76.119258
    Unten links KachelX 29516 KachelY + 1 21605 -1.72668712 1.32852017 -98.931885 76.118599
    Unten rechts KachelX + 1 29517 KachelY + 1 21605 -1.72663919 1.32852017 -98.929138 76.118599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32853167-1.32852017) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dl = 73.2665000003385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32853167-1.32852017) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dr = 73.2665000003385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72668712--1.72663919) × cos(1.32853167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239901762142777 × 6371000     		do = 73.2568890885404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72668712--1.72663919) × cos(1.32852017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239912926294364 × 6371000     		du = 73.2602981965322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32853167)-sin(1.32852017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239901762142777-0.239912926294364)×R²
    abs(-1.72663919--1.72668712)×1.11641515868066e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11641515868066e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11641515868066e-05×40589641000000     		ar = 5367.40075119672m²